Cho tam giác $ABC$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|$.

Question

Timi · Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc sử dụng các ký hiệu vectơ và tính chất của chúng.

Gọi $ \overrightarrow{M} $ là vectơ vị trí của điểm $ M $, và $ \overrightarrow{A}, \overrightarrow{B}, \overrightarrow{C} $ lần lượt là vectơ vị trí của các điểm $ A, B, C $. Ta có thể biểu diễn các vectơ như sau:

$$
\overrightarrow{MA} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}, \quad \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}, \quad \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}
$$

Bây giờ, chúng ta sẽ thay thế vào phương trình đã cho:

$$
|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC}|
$$

Tính tổng bên trái:

$$
\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} = (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) + (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}) + (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}) 
$$
$$
= 3\overrightarrow{M} - (\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})
$$

Đặt $ \overrightarrow{G} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{3} $ là trọng tâm của tam giác $ ABC $. Ta có thể viết lại tổng này:

$$
|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}| = |3\overrightarrow{M} - 3\overrightarrow{G}| = 3|\overrightarrow{M} - \overrightarrow{G}|
$$

Tiếp theo, tính tổng bên phải:

$$
2\overrightarrow{MA} - \overrightarrow{MB} - \overrightarrow{MC} = 2(\overrightarrow{M} - \overrightarrow{A}) - (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{B}) - (\overrightarrow{M} - \overrightarrow{C})
$$
$$
= 2\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{A} - \overrightarrow{M} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{M} - \overrightarrow{C}
$$
$$
= \overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}
$$

Bây giờ, chúng ta đặt lại phương trình:

$$
3|\overrightarrow{M} - \overrightarrow{G}| = |\overrightarrow{M} - 2\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}|
$$

Bằng cách phân tích, ta nhận thấy rằng quỹ tích của $ M $ sẽ là một đường tròn.

Cụ thể, khi điều kiện phương trình trên được thoả mãn, nó sẽ mô tả một quỹ tích có dạng hình tròn với tâm tại điểm G và bán kính phụ thuộc vào các vị trí của A, B, C.

Vậy, quỹ tích của điểm $ M $ là một đường tròn có tâm tại trọng tâm $ G $ của tam giác $ ABC $ và bán kính phụ thuộc vào các hệ số trong phương trình.