Cho tứ giác $ABCD$ cố định. Tìm quỹ tích điểm $M$ thỏa mãn: $|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}| = 2|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MC}|$.

Question

Timi · Accepted Answer

Để tìm quỹ tích của điểm $ M $ thỏa mãn điều kiện đã cho, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp vectơ.

Gọi:
- $ \overrightarrow{MA} = \vec{a} $
- $ \overrightarrow{MB} = \vec{b} $
- $ \overrightarrow{MC} = \vec{c} $
- $ \overrightarrow{MD} = \vec{d} $

Điều kiện của bài toán trở thành:
$$
|\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}| = 2 |\vec{a} + \vec{c}|
$$

Đặt $ \vec{u} = \vec{a} + \vec{c} $ và $ \vec{v} = \vec{b} + \vec{d} $. Ta có thể viết lại điều kiện trên như sau:
$$
|\vec{u} + \vec{v}| = 2 |\vec{u}|
$$

Theo định lý ba điểm, ta có thể phân tích:
$$
|\vec{u} + \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle
$$
$$
(2 |\vec{u}|)^2 = 4 |\vec{u}|^2
$$

Khi kết hợp hai biểu thức, ta có:
$$
|\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2 \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle = 4 |\vec{u}|^2
$$

Rút gọn lại ta có:
$$
|\vec{v}|^2 + 2 \langle \vec{u}, \vec{v} \rangle - 3 |\vec{u}|^2 = 0
$$

Đây là một phương trình liên quan đến các vectơ $ \vec{u} $ và $ \vec{v} $.

Nếu ta đặt $ M $ là điểm trong mặt phẳng, có thể xét quỹ tích của $ M $ bằng cách sử dụng hình học. Từ phương trình trên, nếu $ M $ di chuyển trong mặt phẳng, thì $ \vec{u} $ và $ \vec{v} $ cũng sẽ thay đổi, và quỹ tích sẽ tạo thành một hình nhất định.

Cuối cùng, từ điều kiện $ |\vec{u} + \vec{v}| = 2 |\vec{u}| $, điều này mô tả rằng điểm $ M $ sẽ nằm trên một đường tròn hoặc một elip có tâm tại trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đối xứng của tứ giác $ ABCD $ trong trường hợp đối xứng.

Vậy quỹ tích điểm $ M $ là một đường tròn (hoặc elip) có tâm tại trung điểm của một số điểm đặc biệt của tứ giác $ ABCD $.

**Kết luận:** Quỹ tích của điểm $ M $ là một đường tròn (hoặc elip) trong mặt phẳng.