Ba dao động cùng phương:

x1 = 4cosωt

x2 = 4cos(ωt + 2π/3)

x3 = 4cos(ωt - 2π/3)

Hãy xác định phương trình dao động tổng hợp.

Question

Ba dao động cùng phương:

x1 = 4cosωt

x2 = 4cos(ωt + 2π/3)

x3 = 4cos(ωt - 2π/3)

Hãy xác định phương trình dao động tổng hợp.

Thu Hiền · Accepted Answer

Cho ba dao động:

x₁ = 4cosωt

x₂ = 4cos(ωt + 2π/3)

x₃ = 4cos(ωt − 2π/3)

Ta có:

x = x₁ + x₂ + x₃

Áp dụng công thức:

cos(α + β) + cos(α − β) = 2cosαcosβ

Với α = ωt và β = 2π/3:

x₂ + x₃ = 2 × 4 × cosωt × cos(2π/3)

= 8cosωt × (−1/2)

= −4cosωt

Khi đó:

x = 4cosωt − 4cosωt

= 0

Vậy phương trình dao động tổng hợp là:

x = 0

Kết luận: Ba dao động triệt tiêu lẫn nhau nên vật không dao động, biên độ tổng hợp bằng 0.

Timi · Answer

Cho ba dao động cùng phương:

$$
x_1 = 4\cos \omega t
$$
$$
x_2 = 4\cos\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)
$$
$$
x_3 = 4\cos\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)
$$

**Bước 1: Viết các dao động dưới dạng lượng giác (dạng số phức)**

Ta sử dụng công thức:

$$
\cos \theta = \text{Re}(e^{i\theta})
$$

Vậy:

$$
x_1 = \text{Re}(4 e^{i\omega t})
$$
$$
x_2 = \text{Re}\left(4 e^{i\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)}\right) = \text{Re}\left(4 e^{i\omega t} e^{i\frac{2\pi}{3}}\right)
$$
$$
x_3 = \text{Re}\left(4 e^{i\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)}\right) = \text{Re}\left(4 e^{i\omega t} e^{-i\frac{2\pi}{3}}\right)
$$

**Bước 2: Tính tổng số phức đại diện cho dao động**

Tổng số phức là:

$$
X = 4 e^{i\omega t} + 4 e^{i\omega t} e^{i\frac{2\pi}{3}} + 4 e^{i\omega t} e^{-i\frac{2\pi}{3}} = 4 e^{i\omega t} \left(1 + e^{i\frac{2\pi}{3}} + e^{-i\frac{2\pi}{3}}\right)
$$

**Bước 3: Tính biểu thức trong dấu ngoặc**

Ta biết:

$$
e^{i\theta} + e^{-i\theta} = 2\cos \theta
$$

Nên:

$$
1 + e^{i\frac{2\pi}{3}} + e^{-i\frac{2\pi}{3}} = 1 + 2\cos \frac{2\pi}{3}
$$

Tính $\cos \frac{2\pi}{3}$:

$$
\cos \frac{2\pi}{3} = \cos 120^\circ = -\frac{1}{2}
$$

Do đó:

$$
1 + 2 \times \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 - 1 = 0
$$

**Bước 4: Kết luận**

Vì biểu thức trong dấu ngoặc bằng 0, nên:

$$
X = 4 e^{i\omega t} \times 0 = 0
$$

Điều này có nghĩa tổng hợp của ba dao động là:

$$
x = \text{Re}(X) = 0
$$

**Trả lời:**

Phương trình dao động tổng hợp của ba dao động đã cho là:

$$
\boxed{x = 0}
$$

Hay nói cách khác, ba dao động này cộng lại triệt tiêu nhau hoàn toàn, không có dao động tổng hợp.

tungtungtung67 · Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

Dưới đây là lời giải cho bài toán xác định phương trình dao động tổng hợp từ hình ảnh bạn cung cấp:Đề bàiCho ba dao động cùng phương:$x_1 = 4\cos(\omega t)$ (cm)$x_2 = 4\cos(\omega t + \frac{2\pi}{3})$ (cm)$x_3 = 4\cos(\omega t - \frac{2\pi}{3})$ (cm)Xác định phương trình dao động tổng hợp $x = x_1 + x_2 + x_3$.Giải chi tiếtCách 1: Sử dụng tính chất đối xứng (Vector quay)Ta nhận thấy ba dao động này có cùng biên độ $A_1 = A_2 = A_3 = 4$ và các pha ban đầu lệch nhau từng đôi một một góc $\frac{2\pi }{3}$ ($120^{\circ }$):$\varphi_1 = 0$$\varphi_2 = \frac{2\pi}{3}$$\varphi_3 = -\frac{2\pi}{3}$Ba vector biểu diễn cho ba dao động này tạo thành một hình sao ba cánh đều nhau. Trong vật lý và toán học, tổng của ba vector có cùng độ dài và lệch nhau $120^{\circ }$ luôn bằng 0.Cách 2: Tính toán đại sốTa nhóm $x_{2}$ và $x_{3}$:$x_{2}+x_{3}=4\left[\cos (\omega t+\frac{2\pi }{3})+\cos (\omega t-\frac{2\pi }{3})\right]$Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích $\cos a + \cos b = 2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}$:$x_{2}+x_{3}=4\left[2\cos (\omega t)\cos (\frac{2\pi }{3})\right]$Vì $\cos(\frac{2\pi}{3}) = -0,5$:$x_{2}+x_{3}=4\cdot 2\cdot \cos (\omega t)\cdot (-0,5)=-4\cos (\omega t)$Thay vào phương trình tổng hợp:$x=x_{1}+(x_{2}+x_{3})=4\cos (\omega t)-4\cos (\omega t)=0$Kết luậnPhương trình dao động tổng hợp là:$x = 0$Điều này có nghĩa là vật đứng yên tại vị trí cân bằng do ba dao động thành phần triệt tiêu lẫn nhau.