Một con lắc lò xo nằm ngang gồm: m = 500 g k = 200 N/m Ban đầu kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng 10 cm rồi truyền cho vật vận tốc 1 m/s theo chiều dương. a) Xác định biên độ dao động. b) Viết phươ...

Cho con lắc lò xo nằm ngang với các dữ liệu: - Khối lượng: \( m = 500 \, g = 0,5 \, kg \) - Độ cứng lò xo: \( k = 200 \, N/m \) - Ban đầu kéo lệch vị trí cân bằng \( x_0 = 10 \, cm = 0,1 \, m \) - Tại vị trí đó, vật được truyền vận tốc \( v_0 = 1 \, m/s \) theo chiều dương. --- ### a) Xác định biên độ dao động Động năng và thế năng của con lắc lò xo: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 = \text{Tổng cơ năng} \] Tổng cơ năng ban đầu bằng tổng thế năng và động năng lúc ban đầu: \[ E = \frac{1}{2} k x_0^2 + \frac{1}{2} m v_0^2 \] Từ đó: \[ \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} k x_0^2 + \frac{1}{2} m v_0^2 \] Suy ra: \[ A = \sqrt{x_0^2 + \frac{m}{k} v_0^2} \] Thay số: \[ A = \sqrt{(0,1)^2 + \frac{0,5}{200} \times (1)^2} = \sqrt{0,01 + \frac{0,5}{200}} = \sqrt{0,01 + 0,0025} = \sqrt{0,0125} \approx 0,1118 \, m \] Vậy biên độ dao động là khoảng **11,18 cm**. --- ### b) Viết phương trình dao động Tần số góc của dao động: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{200}{0,5}} = \sqrt{400} = 20 \, rad/s \] Chu kỳ dao động: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0,314 \, s \] Phương trình dao động tổng quát: \[ x = A \cos(\omega t + \varphi) \] Biết ban đầu tại \( t=0 \), vị trí \( x(0) = x_0 = 0,1 \, m \), và vận tốc \( v(0) = v_0 = 1 \, m/s \). Vận tốc: \[ v = \frac{dx}{dt} = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Tại \( t=0 \): \[ x(0) = A \cos \varphi = 0,1 \] \[ v(0) = -A \omega \sin \varphi = 1 \] Từ phương trình thứ nhất: \[ \cos \varphi = \frac{0,1}{A} = \frac{0,1}{0,1118} \approx 0,8944 \] Từ phương trình thứ hai: \[ \sin \varphi = - \frac{v(0)}{A \omega} = -\frac{1}{0,1118 \times 20} = -\frac{1}{2,236} \approx -0,4472 \] Kiểm tra: \[ \cos^2 \varphi + \sin^2 \varphi = (0,8944)^2 + (-0,4472)^2 = 0,8 + 0,2 = 1 \] Phù hợp. Góc \(\varphi\) nằm ở góc có cos dương, sin âm, tức góc thuộc góc thứ IV. Ta có: \[ \varphi = \arccos 0,8944 \approx 0,4636 \, rad \] Vì sin âm nên \(\varphi = -0,4636 \, rad\) hoặc \(2\pi - 0,4636 = 5,8196 \, rad\). Ta chọn \(\varphi = -0,4636\) rad cho đơn giản. Vậy phương trình dao động là: \[ x = 0,1118 \cos(20 t - 0,4636) \] --- ### c) Xác định các thời điểm trong giây đầu tiên khi động năng bằng thế năng Động năng bằng thế năng nghĩa là: \[ K = U \Rightarrow \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} k x^2 \Rightarrow m v^2 = k x^2 \] Thay \( v = \frac{dx}{dt} \): \[ v = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Thế: \[ m (A \omega \sin(\omega t + \varphi))^2 = k (A \cos(\omega t + \varphi))^2 \] Chia hai vế cho \( A^2 \): \[ m \omega^2 \sin^2(\theta) = k \cos^2(\theta) \] với \(\theta = \omega t + \varphi\). Thay \(\omega^2 = k/m\), ta có: \[ m \frac{k}{m} \sin^2 \theta = k \cos^2 \theta \Rightarrow k \sin^2 \theta = k \cos^2 \theta \Rightarrow \sin^2 \theta = \cos^2 \theta \] Suy ra: \[ \tan^2 \theta = 1 \Rightarrow \tan \theta = \pm 1 \] Giải: \[ \theta = \frac{\pi}{4} + n \frac{\pi}{2}, \quad n \in \mathbb{Z} \] Thay lại: \[ \omega t + \varphi = \frac{\pi}{4} + n \frac{\pi}{2} \] \[ t = \frac{1}{\omega} \left( \frac{\pi}{4} + n \frac{\pi}{2} - \varphi \right) \] Thay số: \[ \omega = 20 \, rad/s, \quad \varphi = -0,4636 \] Ta tìm các giá trị \( t \) trong khoảng \( [0, 1] \) giây. Tính các giá trị \( t \) theo các giá trị \( n \): - \( n=0 \): \[ t_0 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 0,4636) = \frac{1,249}{20} = 0,06245 \, s \] - \( n=1 \): \[ t_1 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 1,5708 + 0,4636) = \frac{2,8198}{20} = 0,141 \, s \] - \( n=2 \): \[ t_2 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \pi - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 3,1416 + 0,4636) = \frac{4,3906}{20} = 0,2195 \, s \] - \( n=3 \): \[ t_3 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{2} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 4,7124 + 0,4636) = \frac{5,9614}{20} = 0,298 \, s \] - \( n=4 \): \[ t_4 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 6,2832 + 0,4636) = \frac{7,5322}{20} = 0,3766 \, s \] - \( n=5 \): \[ t_5 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{5\pi}{2} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 7,854 + 0,4636) = \frac{9,103}{20} = 0,455 \, s \] - \( n=6 \): \[ t_6 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + 3\pi - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 9,4248 + 0,4636) = \frac{10,6738}{20} = 0,5337 \, s \] - \( n=7 \): \[ t_7 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{7\pi}{2} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 10,9956 + 0,4636) = \frac{12,2446}{20} = 0,6122 \, s \] - \( n=8 \): \[ t_8 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + 4\pi - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 12,5664 + 0,4636) = \frac{13,8154}{20} = 0,6908 \, s \] - \( n=9 \): \[ t_9 = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{9\pi}{2} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 14,1372 + 0,4636) = \frac{15,3862}{20} = 0,7693 \, s \] - \( n=10 \): \[ t_{10} = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + 5\pi - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 15,708 + 0,4636) = \frac{16,957}{20} = 0,8478 \, s \] - \( n=11 \): \[ t_{11} = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{11\pi}{2} - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 17,2788 + 0,4636) = \frac{18,5278}{20} = 0,9264 \, s \] - \( n=12 \): \[ t_{12} = \frac{1}{20} \left( \frac{\pi}{4} + 6\pi - (-0,4636) \right) = \frac{1}{20} (0,7854 + 18,8496 + 0,4636) = \frac{20,0986}{20} = 1,0049 \, s > 1 \] Vậy các thời điểm trong giây đầu tiên khi động năng bằng thế năng là: \[ t = 0,0625; 0,141; 0,2195; 0,298; 0,3766; 0,455; 0,5337; 0,6122; 0,6908; 0,7693; 0,8478; 0,9264 \, s \] --- ### d) Tính quãng đường vật đi được trong 2,5 chu kì Chu kì \( T = 0,314 \, s \). Quãng đường đi được trong 1 chu kì dao động điều hòa là: \[ S_1 = 4 A \] Do vật đi từ biên này sang biên kia và quay lại vị trí cũ. Vậy quãng đường trong 2,5 chu kì là: \[ S = 2,5 \times S_1 = 2,5 \times 4 A = 10 A \] Thay \( A = 0,1118 \, m \): \[ S = 10 \times 0,1118 = 1,118 \, m \] --- ### Kết luận: - a) Biên độ dao động: \( A \approx 11,18 \, cm \) - b) Phương trình dao động: \( x = 0,1118 \cos(20 t - 0,4636) \, (m) \) - c) Các thời điểm trong 1 giây đầu tiên khi động năng bằng thế năng: \[ t = 0,0625; 0,141; 0,2195; 0,298; 0,3766; 0,455; 0,5337; 0,6122; 0,6908; 0,7693; 0,8478; 0,9264 \, s \] - d) Quãng đường vật đi được trong 2,5 chu kì: \( S = 1,118 \, m \).