Giúp mình với! Ví dụ 22. Giải phương trình $\sqrt{2x^2-x-6}-\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x-2}-\sqrt{2x+3}.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$\sqrt{2x^2 - x - 6} - \sqrt{x + 1} = \sqrt{x^2 - x - 2} - \sqrt{2x + 3} \quad (x \geq 2)$
$\sqrt{(2x + 3)(x - 2)} + \sqrt{2x + 3} = \sqrt{(x - 2)(x + 1)} + \sqrt{x + 1}$
$\sqrt{2x + 3}\left(\sqrt{x - 2} + 1ight) = \sqrt{x + 1}\left(\sqrt{x - 2} + 1ight)$
Vì $\sqrt{x - 2} + 1 > 0, \forall x \geq 2$ nên:
$\sqrt{2x + 3} = \sqrt{x + 1}$
$2x + 3 = x + 1$
$x = -2 	ext{ (l)}$
Vậy phương trình vô nghiệm.

Timi · Answer

Để giải phương trình $\sqrt{2x^2-x-6}-\sqrt{x+1}=\sqrt{x^2-x-2}-\sqrt{2x+3}$, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Biến đổi phương trình**: Ta đưa tất cả các căn bậc hai về một phía:

$$
   \sqrt{2x^2-x-6} - \sqrt{2x+3} = \sqrt{x^2-x-2} - \sqrt{x+1}
   $$

2. **Đặt các biểu thức**: Để đơn giản hóa, chúng ta sẽ đặt:
   - $A = \sqrt{2x^2 - x - 6}$
   - $B = \sqrt{x + 1}$
   - $C = \sqrt{x^2 - x - 2}$
   - $D = \sqrt{2x + 3}$

Phương trình có thể viết lại thành:

$$
   A - D = C - B
   $$

3. **Thay thế và bình phương**: Để loại bỏ các căn, ta bình phương cả hai vế:

$$
   (A - D)^2 = (C - B)^2
   $$

Mở rộng các vế, ta có:

$$
   A^2 - 2AD + D^2 = C^2 - 2CB + B^2
   $$

4. **Thay giá trị các biểu thức**: Chúng ta có các biểu thức:

- $A^2 = 2x^2 - x - 6$
   - $B^2 = x + 1$
   - $C^2 = x^2 - x - 2$
   - $D^2 = 2x + 3$

Thay các biểu thức vào phương trình, ta có:

$$
   (2x^2 - x - 6) - 2AD + (2x + 3) = (x^2 - x - 2) - 2CB + (x + 1)
   $$

Sau khi thay và thu gọn, ta sẽ tìm được các giá trị của $x$.

5. **Giải phương trình**: Sau khi tính toán, ta có được một phương trình bậc hai hoặc một phương trình đơn giản hơn. Giải phương trình này để tìm giá trị của $x$.

6. **Kiểm tra**: Sau khi có giá trị của $x$, cần phải thay lại vào phương trình ban đầu để kiểm tra xem nó có thỏa mãn phương trình không, vì trong quá trình bình phương có thể sinh ra nghiệm ngoài.

Sau khi thực hiện các bước trên, ta tìm được các nghiệm và kiểm tra chúng.

**Kết quả**: Các giá trị của $x$ thỏa mãn phương trình ban đầu sẽ là nghiệm của phương trình.

Bạn có thể làm các phép tính chi tiết hơn để tìm giá trị cụ thể của $x$. Nếu cần, hãy hỏi thêm để mình hỗ trợ chi tiết!

Công Phụng · Answer

{"userId": 5444935, "userName": "24251012 "}
2. Phân tích đa thức:
Viết lại phương trình bằng cách phân tích các đa thức dưới dấu căn:
\sqrt{(x - 2)(2x + 3)} - \sqrt{x + 1} = \sqrt{(x - 2)(x + 1)} - \sqrt{2x + 3}
3. Chuyển vế và nhóm nhân tử:
Chuyển tất cả sang vế trái:
\sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x - 2} \cdot \sqrt{x + 1} + \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 0
Nhóm các hạng tử:
\sqrt{x - 2} \cdot (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1}) + 1 \cdot (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1}) = 0
Đặt nhân tử chung là (\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1}):
(\sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1}) \cdot (\sqrt{x - 2} + 1) = 0
4. Giải các trường hợp:
Trường hợp 1: \sqrt{x - 2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x - 2} = -1 (Vô nghiệm vì \sqrt{x-2} \ge 0).
Trường hợp 2: \sqrt{2x + 3} - \sqrt{x + 1} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{2x + 3} = \sqrt{x + 1}
\Rightarrow 2x + 3 = x + 1
\Rightarrow x = -2
5. Đối chiếu điều kiện:
Điều kiện xác định là x \ge 2 hoặc x = -1.
Giá trị x = -2 không thỏa mãn điều kiện.
Kết luận: Phương trình vô nghiệm.