Giúp mình với! Ví dụ 23. Giải phương trình $1+\frac23\sqrt{x-x^2}=\sqrt x+\sqrt{1-x}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$1 + \dfrac{2}{3}\sqrt{x-x^2} = \sqrt{x} + \sqrt{1-x} \quad (0 \leq x \leq 1)$
$2 + 1 + 2\sqrt{x-x^2} - 3\left(\sqrt{x} + \sqrt{1-x}ight) = 0$
$\left(\sqrt{x} + \sqrt{1-x}ight)^2 - 3\left(\sqrt{x} + \sqrt{1-x}ight) + 2 = 0$
$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{x} + \sqrt{1-x} = 1 \ &\sqrt{x} + \sqrt{1-x} = 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &1 + 2\sqrt{x-x^2} = 1 \ &1 + 2\sqrt{x-x^2} = 4 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &2\sqrt{x-x^2} = 0 \ &2\sqrt{x-x^2} = 3 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x(1-x) = 0 \ &x^2 - x + \dfrac{9}{4} = 0 \quad \left(	ext{vô nghiệm vì } \Delta = -8 < 0ight) \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 0 \ &x = 1 \end{aligned} ight.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{0; 1\}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $ 1+\frac{2}{3}\sqrt{x-x^2}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x} $, trước hết, ta nhận thấy rằng $ x-x^2 = x(1-x) $. Do đó, ta có thể viết lại phương trình như sau:

$$
1+\frac{2}{3}\sqrt{x(1-x)}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}
$$

Tiếp theo, để dễ dàng hơn trong việc giải, ta đặt $ \sqrt{x} = a $ và $ \sqrt{1-x} = b $. Khi đó, theo định nghĩa, ta có:

$$
a^2 + b^2 = 1
$$

Phương trình trở thành:

$$
1 + \frac{2}{3}ab = a + b
$$

Ta có thể biến đổi phương trình này thành:

$$
\frac{2}{3}ab = a + b - 1
$$

Nhân cả hai vế với 3 để dễ dàng xử lý:

$$
2ab = 3(a + b - 1)
$$

Giải thích phương trình:

$$
2ab = 3a + 3b - 3
$$

Sắp xếp lại, ta có:

$$
2ab - 3a - 3b + 3 = 0
$$

Ta có thể coi đây là một phương trình bậc hai theo $ a $:

$$
2a b - 3a - 3b + 3 = 0
$$

Để giải phương trình này, ta thử tìm giá trị của $ b $ theo $ a $. Tuy nhiên, cách tiếp cận khác là quay trở lại phương trình ban đầu và thử tìm nghiệm của $ x $ trực tiếp.

Giả sử $ x = 0 $:

$$
1 + \frac{2}{3}\sqrt{0(1-0)} = \sqrt{0} + \sqrt{1-0} \implies 1 = 1
$$

Vậy $ x = 0 $ là một nghiệm.

Giả sử $ x = 1 $:

$$
1 + \frac{2}{3}\sqrt{1(1-1)} = \sqrt{1} + \sqrt{1-1} \implies 1 = 1
$$

Vậy $ x = 1 $ cũng là một nghiệm.

Giả sử $ x = \frac{1}{2} $:

$$
1 + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2}\right)} = \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{1-\frac{1}{2}} \implies 1 + \frac{2}{3}\sqrt{\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}
$$

Tính toán bên trái:

$$
1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}
$$

Tính toán bên phải:

$$
\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}
$$

Do đó, $ \frac{4}{3} \neq \sqrt{2} $, nên $ x = \frac{1}{2} $ không phải là nghiệm.

Cuối cùng, ta kiểm tra các nghiệm tìm được: $ x = 0 $ và $ x = 1 $.

Vậy nghiệm của phương trình là:

$$
\boxed{0 \text{ và } 1}
$$

Công Phụng · Answer

{"userId": 5444935, "userName": "24251012 "}
Phương trình trở thành:
1 + \frac{2}{3}ab = a + b
\Leftrightarrow a^2 + b^2 + \frac{2}{3}ab = a + b
3. Giải hệ phương trình:
Từ phương trình a+b = 1 + \frac{2}{3}ab, ta bình phương hai vế:
(a + b)^2 = (1 + \frac{2}{3}ab)^2
a^2 + b^2 + 2ab = 1 + \frac{4}{3}ab + \frac{4}{9}a^2b^2
1 + 2ab = 1 + \frac{4}{3}ab + \frac{4}{9}a^2b^2
\frac{2}{3}ab = \frac{4}{9}a^2b^2
Trường hợp 1: ab = 0
Nếu a = 0 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0 (thỏa mãn).
Nếu b = 0 \Rightarrow \sqrt{1-x} = 0 \Rightarrow x = 1 (thỏa mãn).
Trường hợp 2: ab 
eq 0
Chia cả hai vế cho ab:
\frac{2}{3} = \frac{4}{9}ab \Rightarrow ab = \frac{2}{3} : \frac{4}{9} = \frac{3}{2} = 1,5
Vì a^2 + b^2 = 1 nên theo bất đẳng thức Cauchy: ab \le \frac{a^2 + b^2}{2} = 0,5.
Do đó ab = 1,5 là vô lý.
Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là S = \{0; 1\}.