Tìm GTNN của biểu biểu thức $8)~G=(x-2)(x+2)(x+3)(x+7)$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$8)$ $G = (x-2)(x+2)(x+3)(x+7)$
$G = \left[(x-2)(x+7)ight]\left[(x+2)(x+3)ight]$
$G = (x^2+5x-14)(x^2+5x+6)$
$G = (x^2+5x-4-10)(x^2+5x-4+10)$
$G = (x^2+5x-4)^2 - 100$
Vì $(x^2+5x-4)^2 \geq 0, \forall x$ nên:
$G \geq -100, \forall x$
Dấu "=" xảy ra khi $x^2+5x-4 = 0$
$\left[ \begin{aligned} x &= \dfrac{-5+\sqrt{41}}{2} \ x &= \dfrac{-5-\sqrt{41}}{2} \end{aligned} ight.$
Vậy giá trị nhỏ nhất của G là $-100$ khi $x = \dfrac{-5+\sqrt{41}}{2}$ hoặc $x = \dfrac{-5-\sqrt{41}}{2}$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ G = (x-2)(x+2)(x+3)(x+7) $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích biểu thức**:
   Biểu thức $ G $ có thể được viết lại như sau:
   $$
   G = (x^2 - 4)(x^2 + 10x + 21)
   $$
   Ở đây, $ (x-2)(x+2) = x^2 - 4 $ và $ (x+3)(x+7) = x^2 + 10x + 21 $.

2. **Đặt $ y = x^2 $**:
   Đặt $ y = x^2 $, ta có:
   $$
   G = (y - 4)(y + 10\sqrt{y} + 21)
   $$
   Để tìm giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần xét hàm số này.

3. **Tìm cực trị**:
   Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số này, chúng ta có thể sử dụng phương pháp lấy đạo hàm và tìm điểm cực trị. Tuy nhiên, do biểu thức này có thể phức tạp, ta sẽ xem xét giá trị của $ G $ tại các giá trị cụ thể của $ x $.

4. **Tính giá trị của $ G $**:
   Ta sẽ tính giá trị của $ G $ tại các giá trị nguyên trong khoảng mà biểu thức có thể dễ dàng đánh giá:
   - Khi $ x = -4 $:
     $$
     G = (-4 - 2)(-4 + 2)(-4 + 3)(-4 + 7) = (-6)(-2)(-1)(3) = -36
     $$
   - Khi $ x = -3 $:
     $$
     G = (-3 - 2)(-3 + 2)(-3 + 3)(-3 + 7) = (-5)(-1)(0)(4) = 0
     $$
   - Khi $ x = -2 $:
     $$
     G = (-2 - 2)(-2 + 2)(-2 + 3)(-2 + 7) = (-4)(0)(1)(5) = 0
     $$
   - Khi $ x = -1 $:
     $$
     G = (-1 - 2)(-1 + 2)(-1 + 3)(-1 + 7) = (-3)(1)(2)(6) = -36
     $$
   - Khi $ x = 0 $:
     $$
     G = (0 - 2)(0 + 2)(0 + 3)(0 + 7) = (-2)(2)(3)(7) = -84
     $$
   - Khi $ x = 1 $:
     $$
     G = (1 - 2)(1 + 2)(1 + 3)(1 + 7) = (-1)(3)(4)(8) = -96
     $$
   - Khi $ x = 2 $:
     $$
     G = (2 - 2)(2 + 2)(2 + 3)(2 + 7) = (0)(4)(5)(9) = 0
     $$
   - Khi $ x = 3 $:
     $$
     G = (3 - 2)(3 + 2)(3 + 3)(3 + 7) = (1)(5)(6)(10) = 300
     $$
   - Khi $ x = 4 $:
     $$
     G = (4 - 2)(4 + 2)(4 + 3)(4 + 7) = (2)(6)(7)(11) = 924
     $$

5. **So sánh các giá trị**:
   Sau khi tính toán các giá trị của $ G $ tại các điểm nguyên trong khoảng từ -4 đến 4, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất là $ -96 $ tại $ x = 1 $.

**Kết luận**:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ G = (x-2)(x+2)(x+3)(x+7) $ là $ -96 $.

Hurricane · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

$$G=(x-2)(x+2)(x+3)(x+7)$$

$$G=[(x-2)(x+7)][(x+2)(x+3)$$

$$G=(x^2+7x-2x-14)(x^2+3x+2x+6)$$

$$G=(x^2+5x-14)(x^2+5x+6)$$

Đặt $$y=x^2+5x-4(y\in\mathbb{Z},$$ ta có$$:$$

$$G=(y-10)(y+10)$$

$$G=y^2-100$$

Do $y^2\ge 0$ với $$∀x$$ nên $$G\ge -100$$

Dấu "$=$" xảy ra khi $$y=0$$ hay $$x^2+5x-4=0$$ hay $$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$$

Vậy $$G_{MIN} =-100$$ khi $$x=\dfrac{-5\pm\sqrt{41}}{2}$$