Giúp mình với! Ví dụ 24. Giải phương trình $\sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac1{x^2}}=4-(x+\frac1x)$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$\sqrt{2-x^2} + \sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}} = 4 - \left(x + \dfrac{1}{x}\right) \quad \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} \leq x \leq \sqrt{2}\right)$
$\left(2 - x - \sqrt{2-x^2}\right) + \left(2 - \dfrac{1}{x} - \sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}\right) = 0$
$\dfrac{2(x-1)^2}{2-x+\sqrt{2-x^2}} + \dfrac{2(x-1)^2}{2x^2-x+\sqrt{2x^4-x^2}} = 0$
$(x-1)^2 \left(\dfrac{2}{2-x+\sqrt{2-x^2}} + \dfrac{2}{2x^2-x+\sqrt{2x^4-x^2}}\right) = 0$
Vì $\dfrac{2}{2-x+\sqrt{2-x^2}} + \dfrac{2}{2x^2-x+\sqrt{2x^4-x^2}} > 0, \forall x \in \left[\dfrac{\sqrt{2}}{2}; \sqrt{2}\right]$ nên:
$x - 1 = 0$
$x = 1$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \{1\}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $ \sqrt{2-x^2}+\sqrt{2-\frac{1}{x^2}}=4-(x+\frac{1}{x}) $, trước tiên, ta sẽ thực hiện một số phép biến đổi để đơn giản hóa phương trình.

Bắt đầu bằng việc thay $ y = x + \frac{1}{x} $. Ta có:

$$
y \geq 2 \quad \text{(theo bất đẳng thức AM-GM)}
$$

Sau đó, ta có thể viết lại phương trình như sau:

$$
\sqrt{2 - x^2} + \sqrt{2 - \frac{1}{x^2}} = 4 - y
$$

Ta biết rằng:

$$
\sqrt{2 - x^2} = \sqrt{2 - \left( y - \frac{1}{x} \right)^2}
$$
$$
\sqrt{2 - \frac{1}{x^2}} = \sqrt{2 - \left( \frac{1}{y - x} \right)^2}
$$

Tuy nhiên, việc thay thế như trên có thể sẽ phức tạp. Thay vào đó, ta sẽ kiểm tra một số giá trị cụ thể cho $ x $ và $ \frac{1}{x} $.

1. **Thử $ x = 1 $**:

$$
\sqrt{2 - 1^2} + \sqrt{2 - \frac{1}{1^2}} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2
$$

Và bên phải:

$$
4 - (1 + 1) = 4 - 2 = 2
$$

Vậy, $ x = 1 $ là một nghiệm.

2. **Thử $ x = 2 $**:

$$
\sqrt{2 - 2^2} + \sqrt{2 - \frac{1}{2^2}} = \sqrt{2 - 4} + \sqrt{2 - \frac{1}{4}} = \sqrt{-2} + \sqrt{\frac{7}{4}}
$$

Bên trái không có nghiệm thực, vì $ \sqrt{-2} $ không tồn tại trong tập số thực.

3. **Thử $ x = -1 $** (do phương trình có thể cho nghiệm âm):

$$
\sqrt{2 - (-1)^2} + \sqrt{2 - \frac{1}{(-1)^2}} = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 1 + 1 = 2
$$

Bên phải:

$$
4 - (-1 + (-1)) = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6 \quad \text{(không thỏa mãn)}
$$

4. **Thử $ x = 0.5 $**:

$$
\sqrt{2 - (0.5)^2} + \sqrt{2 - \frac{1}{(0.5)^2}} = \sqrt{2 - 0.25} + \sqrt{2 - 4} = \sqrt{1.75} + \sqrt{-2.0}
$$

Bên trái không có nghiệm thực.

Cuối cùng, ta thấy rằng chỉ có nghiệm $ x = 1 $ là nghiệm duy nhất thỏa mãn phương trình.

Vậy, nghiệm của phương trình là:

$$
\boxed{1}
$$

Vu Nguyen · Answer

ĐKXĐ: 
$\displaystyle \begin{cases} 2 - x^2 \ge 0 \ 2 - \frac{1}{x^2} \ge 0 \ x 
eq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle \frac{1}{2} \le x^2 \le 2$

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky và AM-GM cho VT:
$\displaystyle VT^2 = \left(1 \cdot \sqrt{2-x^2} + 1 \cdot \sqrt{2-\frac{1}{x^2}}ight)^2 \le (1^2 + 1^2)\left(4 - \left(x^2 + \frac{1}{x^2}ight)ight)$
$\displaystyle \Rightarrow VT^2 \le 2\left(4 - 2\sqrt{x^2 \cdot \frac{1}{x^2}}ight) = 2(4 - 2) = 4$
$\displaystyle \Rightarrow VT \le 2$
Dấu "=" xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{2-x^2} = \sqrt{2-\frac{1}{x^2}} 	ext{ và } x^2 = \frac{1}{x^2} \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Xét VP, để phương trình có nghiệm thì $\displaystyle VP = VT \le 2$
$\displaystyle 4 - \left(x + \frac{1}{x}ight) \le 2 \Leftrightarrow x + \frac{1}{x} \ge 2$
Vì $\displaystyle x + \frac{1}{x} \ge 2$ nên $\displaystyle x > 0$
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho VP với $\displaystyle x > 0$:
$\displaystyle VP = 4 - \left(x + \frac{1}{x}ight) \le 4 - 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2$
Dấu "=" xảy ra $\displaystyle \Leftrightarrow x = \frac{1}{x} \Leftrightarrow x = 1$ (do $\displaystyle x > 0$)

Phương trình xảy ra khi và chỉ khi $\displaystyle VT = VP = 2$
Kết hợp điều kiện dấu "=" của cả hai vế, ta có $\displaystyle x = 1$ (tm)

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $\displaystyle x = 1$