Giúp mình với! Ví dụ 25. Giải phương trình $\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$\sqrt{5x^2 + 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1} \quad (x \geq 5)$
$\sqrt{(x + 1)(5x + 9)} - \sqrt{(x - 5)(x + 4)} = 5\sqrt{x + 1}$
$\sqrt{x + 1}\sqrt{5x + 9} - 5\sqrt{x + 1} = \sqrt{(x - 5)(x + 4)}$
$\sqrt{x + 1}\left(\sqrt{5x + 9} - 5ight) = \sqrt{(x - 5)(x + 4)}$
$(x + 1)\left(5x + 34 - 10\sqrt{5x + 9}ight) = x^2 - x - 20$
$5x^2 + 39x + 34 - 10(x + 1)\sqrt{5x + 9} = x^2 - x - 20$
$4x^2 + 40x + 54 = 10(x + 1)\sqrt{5x + 9}$
$2x^2 + 20x + 27 = 5(x + 1)\sqrt{5x + 9}$
$2x^2 - 15x - 8 = 5(x + 1)\sqrt{5x + 9} - 35(x + 1)$
$(x - 8)(2x + 1) = 5(x + 1)\left(\sqrt{5x + 9} - 7ight)$
$(x - 8)(2x + 1) = \dfrac{25(x + 1)(x - 8)}{\sqrt{5x + 9} + 7}$
$(x - 8)\left[2x + 1 - \dfrac{25(x + 1)}{\sqrt{5x + 9} + 7}ight] = 0$
$\left[ \begin{aligned} &x - 8 = 0 \ &2x + 1 - \dfrac{25(x + 1)}{\sqrt{5x + 9} + 7} = 0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 8 \ &(2x + 1)\left(\sqrt{5x + 9} + 7ight) = 25(x + 1) \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 8 \ &(2x + 1)\sqrt{5x + 9} = 11x + 18 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 8 \ &(2x + 1)^2(5x + 9) = (11x + 18)^2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 8 \ &4x^3 - 13x^2 - 71x - 63 = 0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 8 \ &(4x + 7)(x^2 - 5x - 9) = 0 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} &x = 8 \ &x = -\dfrac{7}{4} 	ext{ (l)} \ &x = \dfrac{5 + \sqrt{61}}{2} \ &x = \dfrac{5 - \sqrt{61}}{2} 	ext{ (l)} \end{aligned} ight.$
Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ 8; \dfrac{5 + \sqrt{61}}{2} ight\}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $ \sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1} $, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Đưa về dạng đơn giản hơn**: 
   Ta sẽ chuyển tất cả các phần tử sang một bên:
   $$
   \sqrt{5x^2 + 14x + 9} = 5\sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - x - 20}
   $$

2. **Bình phương cả hai vế**: 
   Để loại bỏ căn, ta bình phương cả hai vế:
   $$
   5x^2 + 14x + 9 = (5\sqrt{x+1} + \sqrt{x^2 - x - 20})^2
   $$

Phát triển vế phải:
   $$
   (5\sqrt{x+1})^2 + 2 \cdot 5\sqrt{x+1} \cdot \sqrt{x^2 - x - 20} + (x^2 - x - 20)
   $$
   $$
   = 25(x + 1) + 2 \cdot 5\sqrt{x+1}\sqrt{x^2 - x - 20} + x^2 - x - 20
   $$
   $$
   = 25x + 25 + 2 \cdot 5\sqrt{x+1}\sqrt{x^2 - x - 20} + x^2 - x - 20
   $$
   $$
   = 26x + 5 + 2 \cdot 5\sqrt{x+1}\sqrt{x^2 - x - 20}
   $$

3. **Giải phương trình**:
   Ta có:
   $$
   5x^2 + 14x + 9 = 26x + 5 + 10\sqrt{x+1}\sqrt{x^2 - x - 20}
   $$
   Chuyển tất cả sang một bên:
   $$
   5x^2 + 14x + 9 - 26x - 5 = 10\sqrt{x+1}\sqrt{x^2 - x - 20}
   $$
   $$
   5x^2 - 12x + 4 = 10\sqrt{x+1}\sqrt{x^2 - x - 20}
   $$

4. **Bình phương lại**: 
   Bình phương cả hai vế lần nữa:
   $$
   (5x^2 - 12x + 4)^2 = 100(x + 1)(x^2 - x - 20)
   $$
   Tính toán và phát triển các biểu thức.

Ta sẽ thu được một phương trình bậc bốn. Sau đó, ta sẽ giải phương trình này để tìm các nghiệm $ x $.

5. **Kiểm tra nghiệm**:
   Sau khi tìm các nghiệm, ta cần kiểm tra lại các nghiệm đó có thỏa mãn điều kiện của phương trình ban đầu không (nhất là trong trường hợp có căn).

Cuối cùng, giải được nghiệm $ x $ nào hợp lệ thì đó chính là nghiệm của phương trình. Sau khi thực hiện đầy đủ các bước, chúng ta có thể tìm ra nghiệm cụ thể cho phương trình đã cho.

Mời bạn thử nghiệm các bước trên, nếu cần giúp thêm bất cứ phần nào hãy cho mình biết nhé!