Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Thể tích V của khối chóp S.ABC là bao nhiêu?A. $V = \frac{a^3\sqrt{11}}{12}$B. $V = \frac{a^3\sqrt{11}}{4}$C. $V = \frac{a^3\sqrt{23}}{12}$D. $V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

Gọi $H$ là trọng tâm $\Delta ABC \Rightarrow SH \perp (ABC)$.

$\displaystyle S_{ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\displaystyle AH = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$

$\displaystyle SH = \sqrt{SA^2 - AH^2} = \sqrt{(2a)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2} = \sqrt{4a^2 - \frac{a^2}{3}} = \frac{a\sqrt{33}}{3}$

$\displaystyle V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{33}}{3} = \frac{a^3\sqrt{11}}{12}$

$\Rightarrow$ Chọn A.

Timi · Answer

Để tính thể tích $V$ của khối chóp tam giác đều $S.ABC$, ta sử dụng công thức:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot A_{ABC} \cdot h
$$

Trong đó:
- $A_{ABC}$ là diện tích đáy (tam giác đều ABC)
- $h$ là chiều cao của khối chóp từ đỉnh $S$ xuống mặt phẳng đáy $ABC$.

### Bước 1: Tính diện tích đáy $A_{ABC}$

Diện tích của một tam giác đều có cạnh $a$ được tính bằng công thức:

$$
A = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
$$

Vì đáy là tam giác đều có cạnh bằng $a$, ta có:

$$
A_{ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}
$$

### Bước 2: Tính chiều cao $h$

Gọi $O$ là trung điểm của cạnh $BC$. Từ $O$ hạ một đường thẳng vuông góc xuống điểm $S$ để xác định chiều cao $h$.

Chiều cao $h$ được tính theo định lý Pytago trong tam giác vuông $SOA$:

1. Tính chiều cao của tam giác đều $ABC$:
   $$
   OA = \frac{a\sqrt{3}}{2}
   $$

2. Tính cạnh bên $SA = 2a$.

Theo định lý Pytago, ta có:
$$
SA^2 = h^2 + OA^2
$$

Thay các giá trị vào:
$$
(2a)^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2
$$

Suy ra:
$$
4a^2 = h^2 + \frac{3a^2}{4}
$$
$$
4a^2 - \frac{3a^2}{4} = h^2
$$
$$
\frac{16a^2}{4} - \frac{3a^2}{4} = h^2
$$
$$
\frac{13a^2}{4} = h^2
$$
$$
h = \sqrt{\frac{13a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{13}}{2}
$$

### Bước 3: Tính thể tích $V$

Thay $A_{ABC}$ và $h$ vào công thức thể tích:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a\sqrt{13}}{2}
$$

Tính toán:

$$
V = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2 \sqrt{3} \cdot a \sqrt{13}}{8}
$$
$$
= \frac{a^3 \sqrt{39}}{24}
$$

### Kết luận

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{a^3 \sqrt{39}}{24}$. Tuy nhiên, không có phương án nào trong các đáp án đã cho khớp với kết quả này. Xin kiểm tra lại các thông số ban đầu hoặc các đáp án đã cho.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Thể tích V của khối chóp S.ABC là bao nhiêu?A. \(V = \frac{a^3\sqrt{11}}{12}\)B. \(V = \frac{a^3\sqrt{11}}{4}\)C. \(V = \frac{a^3\...