« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$

Để chứng minh rằng tổng \( A = \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{7}} + \frac{1}{\sqrt{9} + \sqrt{11}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{141} + \sqrt{143}} \) không phải là số nguyên, chúng ta sẽ tính từng phần trong tổng này và phân tích. Tổng có thể được viết dưới dạng tổng của các phân số như sau: \[ A = \sum_{k=0}^{71} \frac{1}{\sqrt{4k + 1} + \sqrt{4k + 3}} \] với \( k \) chạy từ 0 đến 71. Ta có tổng cộng 72 số hạng trong tổng. Bây giờ, ta sẽ rút gọn từng số hạng trong tổng: \[ \frac{1}{\sqrt{4k + 1} + \sqrt{4k + 3}} = \frac{\sqrt{4k + 3} - \sqrt{4k + 1}}{(\sqrt{4k + 1} + \sqrt{4k + 3})(\sqrt{4k + 3} - \sqrt{4k + 1})} = \frac{\sqrt{4k + 3} - \sqrt{4k + 1}}{2} \] Khi đó, ta có thể viết lại tổng \( A \) như sau: \[ A = \sum_{k=0}^{71} \frac{\sqrt{4k + 3} - \sqrt{4k + 1}}{2} \] Khi mở rộng tổng này, ta sẽ nhận thấy rằng: \[ A = \frac{1}{2} \left( \sqrt{3} - \sqrt{1} + \sqrt{7} - \sqrt{5} + \sqrt{11} - \sqrt{9} + \ldots + \sqrt{143} - \sqrt{141} \right) \] Các phần tử trong tổng này sẽ không hủy diệt nhau hoàn toàn và sẽ tạo thành một biểu thức không nguyên. Đặc biệt, khi ta xem xét phần cuối cùng, \( \sqrt{143} \) và \( \sqrt{1} \) sẽ không khớp nhau, và tổng sẽ không rút gọn thành một số nguyên. Kết luận, tổng \( A \) không phải là một số nguyên vì nó bao gồm các căn bậc hai không thể hủy diệt hoàn toàn, và do đó, không thể có giá trị nguyên. Vậy, \( A \) không phải là số nguyên.