« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$

**Bài 24: Tính vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng.** Gọi vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là \( v \) km/h. - Vận tốc ngược dòng: \( v - 2 \) km/h (vì dòng nước cản trở). - Vận tốc xuôi dòng: \( v + 2 \) km/h (vì dòng nước hỗ trợ). Thời gian chạy ngược dòng 60 km: \[ t_1 = \frac{60}{v - 2} \text{ giờ} \] Thời gian chạy xuôi dòng 48 km: \[ t_2 = \frac{48}{v + 2} \text{ giờ} \] Theo đề bài, thời gian xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng 1 giờ: \[ t_1 - t_2 = 1 \] Thay thế công thức vào phương trình: \[ \frac{60}{v - 2} - \frac{48}{v + 2} = 1 \] Giải phương trình: Nhân cả hai bên với \((v - 2)(v + 2)\) để loại bỏ mẫu: \[ 60(v + 2) - 48(v - 2) = (v - 2)(v + 2) \] Rút gọn: \[ 60v + 120 - 48v + 96 = v^2 - 4 \] \[ 12v + 216 = v^2 - 4 \] Chuyển tất cả về một phía: \[ v^2 - 12v - 220 = 0 \] Giải phương trình bậc hai bằng công thức: \[ v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-220)}}{2 \cdot 1} \] \[ = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 880}}{2} \] \[ = \frac{12 \pm \sqrt{1024}}{2} \] \[ = \frac{12 \pm 32}{2} \] Ta có hai nghiệm: 1. \( v = \frac{44}{2} = 22 \) 2. \( v = \frac{-20}{2} = -10 \) (không hợp lý) Vậy vận tốc của tàu tuần tra khi nước yên lặng là: \[ \boxed{22} \text{ km/h} \] --- **Bài 25: Tính thời gian mà người thứ hai hoàn thành công việc một mình.** Gọi thời gian mà người thứ hai hoàn thành công việc một mình là \( t \) giờ. Người thứ nhất hoàn thành công việc trong 5 giờ, do đó hiệu suất làm việc của người thứ nhất là: \[ \frac{1}{5} \text{ (công việc/giờ)} \] Người thứ hai hoàn thành công việc trong \( t \) giờ, do đó hiệu suất làm việc của người thứ hai là: \[ \frac{1}{t} \text{ (công việc/giờ)} \] Khi hai người làm chung, tổng hiệu suất của họ là: \[ \frac{1}{5} + \frac{1}{t} \] Theo đề bài, họ hoàn thành công việc trong 7 giờ 12 phút, tức là \( 7 + \frac{12}{60} = 7.2 \) giờ. Tổng công việc hoàn thành là 1: \[ \left(\frac{1}{5} + \frac{1}{t}\right) \cdot 7.2 = 1 \] Giải phương trình: \[ \frac{7.2}{5} + \frac{7.2}{t} = 1 \] Chuyển vế: \[ \frac{7.2}{t} = 1 - \frac{7.2}{5} \] Tính \( 1 - \frac{7.2}{5} \): \[ 1 - 1.44 = -0.44 \] Suy ra: \[ \frac{7.2}{t} = -0.44 \] Vậy: \[ t = \frac{7.2}{0.44} \approx 16.36 \text{ giờ} \] Tóm lại, thời gian mà người thứ hai hoàn thành công việc một mình là: \[ \boxed{16.36} \text{ giờ} \]