Giúp mình với! 8. Tính:,$a)~\cos(a+\frac\pi6),$ biết $\sin a=\frac1{\sqrt3}$ và $\frac\pi2

Question

Giúp mình với! 8. Tính:,$a)~\cos(a+\frac\pi6),$ biết $\sin a=\frac1{\sqrt3}$ và $\frac\pi2<a<\pi;$,$b)~	an(a-\frac\pi4),$ biết $\cos a=-\frac13$ và $\pi<a<\frac{3\pi}2.$

Huycindy · Accepted Answer

$a) \cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}ight)$
Vì $\dfrac{\pi}{2} < a < \pi$ nên $\cos a < 0$
Ta có $\cos^2 a = 1 - \sin^2 a$
$\cos^2 a = 1 - \left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}ight)^2 = \dfrac{2}{3}$
Do đó $\cos a = -\dfrac{\sqrt{6}}{3}$
Ta có $\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}ight) = \cos a \cos \dfrac{\pi}{6} - \sin a \sin \dfrac{\pi}{6}$
$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}ight) = \left(-\dfrac{\sqrt{6}}{3}ight) \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{1}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{1}{2}$
$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}ight) = -\dfrac{3\sqrt{2}}{6} - \dfrac{\sqrt{3}}{6}$
$\cos\left(a + \dfrac{\pi}{6}ight) = \dfrac{-3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$
$b) 	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight)$
Vì $\pi < a < \dfrac{3\pi}{2}$ nên $\sin a < 0$
Ta có $\sin^2 a = 1 - \cos^2 a$
$\sin^2 a = 1 - \left(-\dfrac{1}{3}ight)^2 = \dfrac{8}{9}$
Do đó $\sin a = -\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$
Ta có $	an a = \dfrac{\sin a}{\cos a} = \dfrac{-\dfrac{2\sqrt{2}}{3}}{-\dfrac{1}{3}} = 2\sqrt{2}$
Ta có $	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{	an a - 	an \dfrac{\pi}{4}}{1 + 	an a 	an \dfrac{\pi}{4}}$
$	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2} \cdot 1}$
$	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{2\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2} + 1}$
$	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{(2\sqrt{2} - 1)^2}{(2\sqrt{2} + 1)(2\sqrt{2} - 1)}$
$	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{8 - 4\sqrt{2} + 1}{8 - 1}$
$	an\left(a - \dfrac{\pi}{4}ight) = \dfrac{9 - 4\sqrt{2}}{7}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ giải từng phần một.

### Phần a: Tính $\cos(a+\frac{\pi}{6})$

**Biết rằng:** $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ và $\frac{\pi}{2} < a < \pi$.

1. **Tính $\cos a$**: 
   Theo định lý Pythagore, ta có:
   $$
   \sin^2 a + \cos^2 a = 1
   $$
   Thay $\sin a = \frac{1}{\sqrt{3}}$ vào công thức:
   $$
   \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \cos^2 a = 1 \implies \frac{1}{3} + \cos^2 a = 1
   $$
   $$
   \cos^2 a = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \implies \cos a = -\sqrt{\frac{2}{3}} \quad \text{(vì } a \text{ ở khoảng } \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) \text{ nên } \cos a < 0\text{)}
   $$
   Vậy:
   $$
   \cos a = -\frac{\sqrt{6}}{3}
   $$

2. **Sử dụng công thức cộng:**
   $$
   \cos(a + \frac{\pi}{6}) = \cos a \cos \frac{\pi}{6} - \sin a \sin \frac{\pi}{6}
   $$
   Biết rằng:
   $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, ta có:
   $$
   \cos(a + \frac{\pi}{6}) = \left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \cdot \frac{1}{2}
   $$
   $$
   = -\frac{\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{6} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{18}}{6} - \frac{1}{2\sqrt{3}}
   $$
   $$
   = -\frac{3\sqrt{2}}{6} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2\sqrt{3}}
   $$
   Để gộp lại, quy đồng:
   $$
   = -\frac{\sqrt{2}\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} - \frac{1}{2\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{6} + 1}{2\sqrt{3}}
   $$

### Phần b: Tính $\tan(a - \frac{\pi}{4})$

**Biết rằng:** $\cos a = -\frac{1}{3}$ và $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$.

1. **Tính $\sin a$**:
   Áp dụng định lý Pythagore:
   $$
   \sin^2 a + \cos^2 a = 1 \implies \sin^2 a + \left(-\frac{1}{3}\right)^2 = 1
   $$
   $$
   \sin^2 a + \frac{1}{9} = 1 \implies \sin^2 a = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \sin a = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \quad \text{(vì } a \text{ ở khoảng } \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) \text{ nên } \sin a < 0\text{)}
   $$

2. **Sử dụng công thức hiệu:**
   $$
   \tan(a - \frac{\pi}{4}) = \frac{\tan a - \tan \frac{\pi}{4}}{1 + \tan a \tan \frac{\pi}{4}}
   $$
   Biết rằng $\tan \frac{\pi}{4} = 1$, nên:
   $$
   \tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}} = 2\sqrt{2}
   $$
   Thay vào công thức:
   $$
   \tan(a - \frac{\pi}{4}) = \frac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2}}
   $$

### Kết luận
Vậy kết quả cho bài toán là:
- a) $\cos(a + \frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{6} + 1}{2\sqrt{3}}$
- b) $\tan(a - \frac{\pi}{4}) = \frac{2\sqrt{2} - 1}{1 + 2\sqrt{2}}$

UwU · Answer

{"userId":5432464,"userName":"Ngọc Anh"}

a)

Ta có:

sin a = 1/√3, π/2 < a < π.

=> cos a = -√(1 - sin^2a)

= -√(1 - 1/3)

= -√6/3.

Áp dụng công thức:

cos(a + π/6) = cosa.cosπ/6 - sina.sinπ/6

= (-√6/3).(√3/2) - (1/√3).(1/2)

= -√2/2 - √3/6

= -(3√2 + √3)/6.

Đáp số:

cos(a + π/6) = -(3√2 + √3)/6.

b)

Ta có:

cos a = -1/3, π < a < 3π/2.

=> sin a = -√(1 - cos^2a)

= -√(1 - 1/9)

= -2√2/3.

=> tan a = sin a/cos a

= 2√2.

Áp dụng công thức:

tan(a - π/4)

= (tan a - 1)/(1 + tan a)

= (2√2 - 1)/(1 + 2√2)

= (2√2 - 1)^2/7

= (9 - 4√2)/7.

Đáp số:

tan(a - π/4) = (9 - 4√2)/7.