Giúp mình với! .7. Tìm tập giá trị của các hàm số sau:,$a)~y=2\sin(x-\frac\pi4)-1;$ $b)~y=\sqrt{1+\cos x}-2.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a) y = 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1$
Ta có $-1 \le \sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) \le 1, \forall x$
$-2 \le 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) \le 2, \forall x$
$-3 \le 2\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) - 1 \le 1, \forall x$
$-3 \le y \le 1$
Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [-3; 1]$
$b) y = \sqrt{1 + \cos x} - 2$
Ta có $-1 \le \cos x \le 1, \forall x$
$0 \le 1 + \cos x \le 2, \forall x$
$0 \le \sqrt{1 + \cos x} \le \sqrt{2}, \forall x$
$-2 \le \sqrt{1 + \cos x} - 2 \le \sqrt{2} - 2, \forall x$
$-2 \le y \le \sqrt{2} - 2$
Vậy tập giá trị của hàm số là $T = [-2; \sqrt{2} - 2]$

Timi · Answer

Chúng ta sẽ tìm tập giá trị của từng hàm số một.

### a) Hàm số $ y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 $

Đầu tiên, ta xét hàm $ \sin(x - \frac{\pi}{4}) $. Giá trị của hàm số sin luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là:

$$
-1 \leq \sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \leq 1.
$$

Khi nhân với 2, ta có:

$$
-2 \leq 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) \leq 2.
$$

Cuối cùng, khi trừ đi 1, ta có:

$$
-2 - 1 \leq 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 \leq 2 - 1,
$$
hay

$$
-3 \leq y \leq 1.
$$

Vậy tập giá trị của hàm số $ y = 2\sin\left(x - \frac{\pi}{4}\right) - 1 $ là:

$$
\boxed{[-3, 1]}.
$$

### b) Hàm số $ y = \sqrt{1 + \cos x} - 2 $

Trước tiên, ta cần xác định tập giá trị của $ \cos x $. Giá trị của hàm số cos luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1, tức là:

$$
-1 \leq \cos x \leq 1.
$$

Vậy ta có:

$$
1 + \cos x \geq 0 \quad \text{và} \quad 1 + \cos x \leq 2.
$$

Do đó, $ 1 + \cos x $ sẽ nằm trong khoảng:

$$
0 \leq 1 + \cos x \leq 2.
$$

Lấy căn bậc hai:

$$
0 \leq \sqrt{1 + \cos x} \leq \sqrt{2}.
$$

Cuối cùng, khi trừ đi 2, ta có:

$$
0 - 2 \leq \sqrt{1 + \cos x} - 2 \leq \sqrt{2} - 2,
$$
hay

$$
-2 \leq y \leq \sqrt{2} - 2.
$$

Với $ \sqrt{2} \approx 1.414 $, ta có $ \sqrt{2} - 2 \approx -0.586 $.

Vậy tập giá trị của hàm số $ y = \sqrt{1 + \cos x} - 2 $ là:

$$
\boxed{[-2, \sqrt{2} - 2]}.
$$