« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ $a,~b,~c0,~a+b+c\leq1.$ min:,$P=(\frac a{b^3}+1)(\frac b{c^3}+1)(\frac c{a^3}+1)$

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ $a,~b,~c>0,~a+b+c\leq1.$ min:,$P=(\frac a{b^3}+1)(\frac b{c^3}+1)(\frac c{a^3}+1)$

Nguyễn Khánh Linh · Accepted Answer

Cho $a, b, c > 0$ và $a + b + c \leq 1$. Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P = \left(\frac{a}{b^3} + 1\right)\left(\frac{b}{c^3} + 1\right)\left(\frac{c}{a^3} + 1\right)$

Khai triển biểu thức $P$, ta được:

$P = 1 + \frac{a}{b^3} + \frac{b}{c^3} + \frac{c}{a^3} + \frac{a}{b^2c^3} + \frac{b}{c^2a^3} + \frac{c}{a^2b^3} + \frac{1}{a^2b^2c^2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương, ta có:

$\frac{a}{b^3} + \frac{b}{c^3} + \frac{c}{a^3} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a}{b^3} \cdot \frac{b}{c^3} \cdot \frac{c}{a^3}} = \frac{3}{abc}$

Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương tiếp theo:

$\frac{a}{b^2c^3} + \frac{b}{c^2a^3} + \frac{c}{a^2b^3} \geq 3\sqrt[3]{\frac{a \cdot b \cdot c}{b^2c^3 \cdot c^2a^3 \cdot a^2b^3}} = 3\sqrt[3]{\frac{abc}{a^5b^5c^5}} = \frac{3}{a^2b^2c^2}$

Khi đó, biểu thức $P$ được chặn dưới như sau:

$P \geq 1 + \frac{3}{abc} + \frac{3}{a^2b^2c^2} + \frac{1}{a^2b^2c^2}$

$P \geq 1 + \frac{3}{abc} + \frac{4}{a^2b^2c^2}$

Mặt khác, từ giả thiết $a + b + c \leq 1$, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

$1 \geq a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$

Suy ra:

$\frac{1}{3} \geq \sqrt[3]{abc}$

$\frac{1}{27} \geq abc$

Do đó:

$\frac{1}{abc} \geq 27$

Thay điều kiện này vào biểu thức chứa $P$, ta có:

$\frac{3}{abc} \geq 3 \cdot 27 = 81$

$\frac{4}{a^2b^2c^2} \geq 4 \cdot 27^2 = 2916$

Suy ra:

$P \geq 1 + 81 + 2916 = 2998$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

$a = b = c$

$a + b + c = 1$

Dẫn tới $a = b = c = \frac{1}{3}$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ là 2998 khi $a = b = c = \frac{1}{3}$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm hiểu biểu thức $ P = \left( \frac{a}{b^3} + 1 \right) \left( \frac{b}{c^3} + 1 \right) \left( \frac{c}{a^3} + 1 \right) $ với điều kiện $ a, b, c > 0 $ và $ a + b + c \leq 1 $.

Bắt đầu, ta có thể viết lại biểu thức $ P $:

$$
P = \left( \frac{a}{b^3} + 1 \right) \left( \frac{b}{c^3} + 1 \right) \left( \frac{c}{a^3} + 1 \right) = \left( \frac{a}{b^3} \right) \left( \frac{b}{c^3} \right) \left( \frac{c}{a^3} \right) + \text{các hạng tử khác}.
$$

Dễ thấy rằng khi $ a, b, c $ càng nhỏ, $ P $ sẽ có xu hướng giảm. Bây giờ, chúng ta cần một cách tiếp cận để tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$$
\frac{a}{b^3} + 1 \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b^3}}.
$$

Áp dụng cho ba hạng tử trong biểu thức $ P $:

$$
P \geq 2 \sqrt{\frac{a}{b^3}} \cdot 2 \sqrt{\frac{b}{c^3}} \cdot 2 \sqrt{\frac{c}{a^3}} = 8 \sqrt[3]{\frac{abc}{(abc)^3}} = 8 \sqrt[3]{\frac{1}{(abc)^2}}.
$$

Để giảm giá trị $ P $, cần có các giá trị của $ a, b, c $ sao cho tổng $ a + b + c = 1 $ và các hạng tử $ \frac{a}{b^3}, \frac{b}{c^3}, \frac{c}{a^3} $ là nhỏ nhất.

Giả sử $ a = b = c $, ta có $ a + b + c = 1 $ dẫn đến $ 3a = 1 $ hay $ a = b = c = \frac{1}{3} $.

Thay vào biểu thức $ P $:

$$
P = \left( \frac{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)^3} + 1 \right)^3 = \left( \frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{27}} + 1 \right)^3 = \left( 9 + 1 \right)^3 = 10^3 = 1000.
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ 1000 $.

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \boxed{1000} $.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$