« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ 1, Cho phương trình $2x^2-2x+3m+1=0.$ Tìm m để phương trình,có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $x^3_1+x^3_2=9.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$2x^2 - 2x + 3m + 1 = 0$
$\Delta&#x27; = (-1)^2 - 2 . (3m + 1)$
$\Delta&#x27; = 1 - 6m - 2$
$\Delta&#x27; = -6m - 1$
Để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thì
$\Delta&#x27; \ge 0$
$-6m - 1 \ge 0$
$m \le -\dfrac{1}{6}$
Theo hệ thức Vi-ét:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \ x_1 . x_2 = \dfrac{3m + 1}{2} \end{cases}$
Theo đề bài:
$x_1^3 + x_2^3 = 9$
$(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 9$
$1^3 - 3 . \dfrac{3m + 1}{2} . 1 = 9$
$1 - \dfrac{9m + 3}{2} = 9$
$2 - (9m + 3) = 18$
$2 - 9m - 3 = 18$
$-9m - 1 = 18$
$-9m = 19$
$m = -\dfrac{19}{9}(tm)$
Vậy $m = -\dfrac{19}{9}$

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta bắt đầu từ phương trình đã cho:

$$ 2x^2 - 2x + (3m + 1) = 0. $$

Đây là một phương trình bậc hai có dạng:

$$ ax^2 + bx + c = 0, $$

trong đó $ a = 2 $, $ b = -2 $, và $ c = 3m + 1 $.

Chúng ta sẽ sử dụng định lý Viète, theo đó, với hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $ của phương trình, ta có:

1. $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2}{2} = 1. $ 
2. $ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3m + 1}{2}. $

Chúng ta cần tìm $ m $ sao cho $ x_1^3 + x_2^3 = 9 $. Ta có thể sử dụng công thức:

$$ x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)(x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2). $$

Chúng ta cũng biết rằng:

$$ x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 1^2 - 2 \cdot \frac{3m + 1}{2} = 1 - (3m + 1) = -3m. $$

Vậy:

$$ x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 = x_1^2 + x_2^2 - x_1 x_2 = -3m - \frac{3m + 1}{2}. $$

Giờ ta có thể tính $ x_1^3 + x_2^3 $:

$$
x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2) \left( x_1^2 - x_1 x_2 + x_2^2 \right) = 1 \left( -3m - \frac{3m + 1}{2} \right).
$$

Ta đặt biểu thức này bằng 9:

$$
-3m - \frac{3m + 1}{2} = 9.
$$

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ mẫu số:

$$
-6m - (3m + 1) = 18.
$$

Giải phương trình trên:

$$
-6m - 3m - 1 = 18 \
-9m - 1 = 18 \
-9m = 19 \
m = -\frac{19}{9}.
$$

Vậy giá trị của $ m $ để phương trình có hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $ thỏa mãn $ x_1^3 + x_2^3 = 9 $ là:

$$
\boxed{-\frac{19}{9}}.
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

$$2x^2-2x+3m+1=0$$

$$\Delta=\left(-1 ight)^2-2.\left(3m+1 ight)$$

$$=1-6m-2$$

$$=-6m-1$$

Để phương trình trên có 2 nghiệm thì $$\Delta\ge0$$ hay $$m\le\frac{-1}{6}$$

Áp dụng hệ thức Viète: $$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-\left(-2 ight)}{2}=1 \ x_1x_2=\dfrac{3m+1}{2}\end{cases}$$

$$x_1^3+x_2^3=9$$

$$\left(x_1+x_2 ight)\left\lbrack\left(x_1+x_2 ight)^2-3x_1x_2 ight brack=9$$

$$1.\left\lbrack1^2-3.\left(\dfrac{3m+1}{2} ight) ight brack=9$$

$$1-\dfrac{9m+3}{2}=9$$

$$\dfrac{2-\left(9m+3 ight)}{2}=9$$

$$\dfrac{-9m-1}{2}=9$$

$$-9m-1=18$$

$$-9m=19$$

$$m=\dfrac{-19}{9}$$ (thỏa mãn)

Vậy $$m=\dfrac{-19}{9}.$$

Trang · Answer

Cho phương trình $2x^2 - 2x + 3m + 1 = 0$.

Phương trình có các hệ số: $a = 2$, $b = -2$, $c = 3m + 1$.

Ta có:

$\Delta' = (-1)^2 - 2(3m + 1)$

$\Delta' = 1 - 6m - 2$

$\Delta' = -6m - 1$

Để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$, điều kiện là:

$\Delta' \ge 0$

$-6m - 1 \ge 0$

$-6m \ge 1$

$m \le -\frac{1}{6}$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2}{2} = 1$

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{3m + 1}{2}$

Theo bài ra, ta có:

$x_1^3 + x_2^3 = 9$

$(x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2) = 9$

Thay các biểu thức Vi-ét vào, ta được:

$1^3 - 3 \cdot \frac{3m + 1}{2} \cdot 1 = 9$

$1 - \frac{3(3m + 1)}{2} = 9$

$\frac{3(3m + 1)}{2} = -8$

$3(3m + 1) = -16$

$9m + 3 = -16$

$9m = -19$

$m = -\frac{19}{9}$

So sánh với điều kiện $m \le -\frac{1}{6}$, ta thấy $m = -\frac{19}{9}$ thỏa mãn vì $-\frac{19}{9} < -\frac{1}{6}$.

Vậy $m = -\frac{19}{9}$ là giá trị cần tìm.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$