« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ 2, Cho phương trình $2x^2+(2m-1)x+m-1=0.$ Tìm m để phương,trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ thỏa mãn $4x^2_1+4x^2_2+2xpx_2=1.$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$2x^2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0$
$\Delta = (2m - 1)^2 - 4 . 2 . (m - 1)$
$\Delta = 4m^2 - 4m + 1 - 8m + 8$
$\Delta = 4m^2 - 12m + 9$
$\Delta = (2m - 3)^2 \ge 0, \forall m$
Phương trình luôn có hai nghiệm $x_1, x_2$ với mọi $m$.
Theo hệ thức Vi-ét:
$\begin{cases} x_1 + x_2 = \dfrac{1 - 2m}{2} \ x_1 . x_2 = \dfrac{m - 1}{2} \end{cases}$
Theo đề bài:
$4x_1^2 + 4x_2^2 + 2x_1x_2 = 1$
$4(x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2 = 1$
$4 . \left(\dfrac{1 - 2m}{2}ight)^2 - 6 . \dfrac{m - 1}{2} = 1$
$(1 - 2m)^2 - 3(m - 1) = 1$
$1 - 4m + 4m^2 - 3m + 3 = 1$
$4m^2 - 7m + 3 = 0$
$\left[ \begin{aligned} m &= 1 \ m &= \dfrac{3}{4} \end{aligned} ight.$
Vậy $m \in \left\{1 ; \dfrac{3}{4}ight\}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên chúng ta cần tìm điều kiện để phương trình bậc 2 $ 2x^2 + (2m-1)x + (m-1) = 0 $ có hai nghiệm $ x_1 $ và $ x_2 $. Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi delta (Δ) của nó dương.

Tính delta của phương trình:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = (2m - 1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m - 1)
$$

$$
= (2m - 1)^2 - 8(m - 1)
$$

$$
= 4m^2 - 4m + 1 - 8m + 8
$$

$$
= 4m^2 - 12m + 9
$$

Chúng ta yêu cầu $ \Delta > 0 $:

$$
4m^2 - 12m + 9 > 0
$$

Giải bất phương trình này bằng cách tính nghiệm của phương trình bậc 2 tương ứng:

$$
4m^2 - 12m + 9 = 0
$$

Sử dụng công thức nghiệm:

$$
m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9}}{2 \cdot 4}
$$

$$
= \frac{12 \pm \sqrt{144 - 144}}{8} = \frac{12 \pm 0}{8} = \frac{12}{8} = 1.5
$$

Nghiệm kép của phương trình là $ m = 1.5 $. Bất phương trình bậc 2 có dạng $ 4(m - 1.5)^2 > 0 $, cho ta biết rằng:

$$
m \neq 1.5
$$

Giờ chúng ta sẽ xem xét điều kiện $ 4x_1^2 + 4x_2^2 + 2x_1x_2 = 1 $. Sử dụng công thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm:

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{2m - 1}{2} = \frac{1 - 2m}{2}
$$

$$
x_1 x_2 = \frac{c}{a} = \frac{m - 1}{2}
$$

Tính $ 4x_1^2 + 4x_2^2 $:

$$
4x_1^2 + 4x_2^2 = 4((x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2) = 4\left(\left(\frac{1 - 2m}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{m - 1}{2}\right)
$$

$$
= 4\left(\frac{(1 - 2m)^2}{4} - (m - 1)\right) = (1 - 2m)^2 - 4(m - 1)
$$

Bây giờ ta có điều kiện:

$$
(1 - 2m)^2 - 4(m - 1) + 2 \cdot \frac{m - 1}{2} = 1
$$

Giải phương trình này sẽ cho ta giá trị của $ m $. Đưa vào và tính toán:

$$
(1 - 2m)^2 - 4(m - 1) + (m - 1) = 1
$$

$$
(1 - 2m)^2 - 4m + 4 + m - 1 = 1
$$

$$
(1 - 2m)^2 - 3m + 3 = 1
$$

$$
(1 - 2m)^2 - 3m + 2 = 0
$$

Giải phương trình này để tìm m. Sau khi giải xong ta tìm được $ m $.

Kết luận: Giá trị của $ m $ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2 $ thỏa mãn điều kiện đã cho là $ m = 1 $.

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

$$2x^2+\left(2m-1 ight)x+m-1=0$$

$$\Delta=\left(2m-1 ight)^2-4.2\left(m-1 ight)$$

$$=4m^2-4m+1-8m+8$$

$$=4m^2-12m+9$$

$$=\left(2m-3 ight)^2$$

Để phương trình trên có 2 nghiệm thì $$\Delta\ge0$$ hay $$\left(2m-3 ight)^2\ge0$$ (luôn đúng với mọi $m$)

Áp dụng hệ thức Viète: $$\begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{1-2m}{2} \ x_1x_2=\dfrac{m-1}{2}\end{cases}$$

$$4x_1^2+4x_2^2+2x_1x_2=1$$

$$4\left(x_1+x_2 ight)^2-6x_1x_2=1$$

$$4.\left(\dfrac{1-2m}{2} ight)^2-6.\left(\dfrac{m-1}{2} ight)=1$$

$$4.\dfrac{\left(1-2m ight)^2}{4}-3\left(m-1 ight)=1$$

$$1-4m+4m^2-3m+3=1$$

$$4m^2-7m+3=0$$

$$\left(4m-3 ight)\left(m-1 ight)=0$$

$$\left[\begin{matrix}4m=3 \ m=1\end{matrix} ight.$$

$$\left[\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4} \ m=1\end{matrix} ight.$$

Vậy $$m\in\left\lbrace\dfrac{3}{4};1 ight brace.$$

Ngọcc · Answer

Xét phương trình $2x^2 + (2m-1)x + m-1 = 0$ với hệ số $a = 2$, $b = 2m-1$, $c = m-1$.

Để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$, điều kiện là biệt thức $\Delta \ge 0$.

$\Delta = (2m-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (m-1)$

$\Delta = 4m^2 - 4m + 1 - 8m + 8$

$\Delta = 4m^2 - 12m + 9$

$\Delta = (2m-3)^2$

Vì $(2m-3)^2 \ge 0$ với mọi $m$ nên phương trình luôn có hai nghiệm $x_1, x_2$ với mọi giá trị của $m$.

Theo định lý Vi-ét, ta có:

$x_1 + x_2 = \frac{-(2m-1)}{2} = \frac{1-2m}{2}$

$x_1x_2 = \frac{m-1}{2}$

Đề bài yêu cầu hệ thức: $4x_1^2 + 4x_2^2 + 2x_1x_2 = 1$

(Lưu ý: Kí hiệu $2xpx_2$ trong đề bài được hiểu là $2x_1x_2$ do lỗi đánh máy).

Biến đổi hệ thức trên thành:

$4(x_1^2 + x_2^2) + 2x_1x_2 = 1$

$4[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2] + 2x_1x_2 = 1$

$4(x_1 + x_2)^2 - 8x_1x_2 + 2x_1x_2 = 1$

$4(x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2 = 1$

Thay các biểu thức Vi-ét vào hệ thức, ta được:

$4 \cdot \left(\frac{1-2m}{2}\right)^2 - 6 \cdot \left(\frac{m-1}{2}\right) = 1$

$4 \cdot \frac{(1-2m)^2}{4} - 3(m-1) = 1$

$(1-2m)^2 - 3m + 3 = 1$

$1 - 4m + 4m^2 - 3m + 3 = 1$

$4m^2 - 7m + 3 = 0$

Phương trình bậc hai theo $m$ có dạng $A + B + C = 4 + (-7) + 3 = 0$ nên có hai nghiệm:

$m_1 = 1$

$m_2 = \frac{3}{4}$

Vì phương trình ban đầu luôn có nghiệm với mọi $m$ nên cả hai giá trị của $m$ đều thỏa mãn.

Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m = 1$ và $m = \frac{3}{4}$.

cute · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệmPhương trình có các hệ số: $a = 2$, $b = 2m - 1$, $c = m - 1$.Để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$, điều kiện là:$\Delta \ge 0$$\Leftrightarrow (2m-1)^{2}-4\cdot 2\cdot (m-1)\ge 0$$\Leftrightarrow 4m^{2}-4m+1-8m+8\ge 0$$\Leftrightarrow 4m^{2}-12m+9\ge 0$$\Leftrightarrow (2m-3)^{2}\ge 0$Vì $(2m - 3)^2$ luôn lớn hơn hoặc bằng $0$ với mọi $m$, nên phương trình luôn có hai nghiệm với mọi $m \in \mathbb{R}$.Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-étTheo hệ thức Vi-ét, ta có:$x_{1}+x_{2}=\frac{-b}{a}=\frac{1-2m}{2}$$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}=\frac{m-1}{2}$Bước 3: Biến đổi biểu thức điều kiệnBiến đổi đẳng thức bài cho về dạng tổng và tích:$4x_{1}^{2}+4x_{2}^{2}+2x_{1}x_{2}=1$$\Leftrightarrow 4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})+2x_{1}x_{2}=1$$\Leftrightarrow 4\left[(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}\right]+2x_{1}x_{2}=1$$\Leftrightarrow 4(x_{1}+x_{2})^{2}-8x_{1}x_{2}+2x_{1}x_{2}=1$$\Leftrightarrow 4(x_{1}+x_{2})^{2}-6x_{1}x_{2}=1$Bước 4: Thay Vi-ét vào biểu thức và giải tìm mThay $x_1 + x_2$ và $x_{1}x_{2}$ vào phương trình trên:$4\cdot \left(\frac{1-2m}{2}\right)^{2}-6\cdot \left(\frac{m-1}{2}\right)=1$$\Leftrightarrow 4\cdot \frac{(1-2m)^{2}}{4}-3(m-1)=1$$\Leftrightarrow (1-2m)^{2}-3m+3=1$$\Leftrightarrow 1-4m+4m^{2}-3m+3-1=0$$\Leftrightarrow 4m^{2}-7m+3=0$Phương trình bậc hai theo $m$ có dạng đặc biệt $a + b + c = 4 + (-7) + 3 = 0$, nên ta tìm được hai nghiệm:$m_{1}=1$$m_{2}=\frac{c}{a}=\frac{3}{4}$Kết luậnCả hai giá trị $m$ đều thỏa mãn điều kiện tồn tại nghiệm. Vậy các giá trị $m$ cần tìm là $m = 1$ hoặc $m = \frac{3}{4}$.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$