« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một. **a) Rút gọn biểu thức \( P \)**: Ta có biểu thức: \[ P = \left( \frac{x-2}{x+2\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} + 2} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \] Bước 1: Rút gọn phần trong ngoặc trước. Đặt \( \sqrt{x} = t \) (vì \( x > 0 \)), ta có \( x = t^2 \). Khi đó, biểu thức trở thành: \[ P = \left( \frac{t^2 - 2}{t^2 + 2t} + \frac{1}{t + 2} \right) \cdot \frac{t + 1}{t - 1} \] Bước 2: Tính tổng hai phân thức trong ngoặc. \[ \frac{t^2 - 2}{t^2 + 2t} + \frac{1}{t + 2} \] Tìm mẫu chung là \( (t^2 + 2t)(t + 2) \). Phân thức thứ nhất: \[ \frac{(t^2 - 2)(t + 2)}{(t^2 + 2t)(t + 2)} = \frac{t^3 + 2t^2 - 2t - 4}{(t^2 + 2t)(t + 2)} \] Phân thức thứ hai: \[ \frac{1(t^2 + 2t)}{(t + 2)(t^2 + 2t)} = \frac{t^2 + 2t}{(t + 2)(t^2 + 2t)} \] Tổng hai phân thức: \[ \frac{t^3 + 2t^2 - 2t - 4 + t^2 + 2t}{(t + 2)(t^2 + 2t)} = \frac{t^3 + 3t^2 - 4}{(t + 2)(t^2 + 2t)} \] Bước 3: Rút gọn \( P \): Giờ ta có: \[ P = \frac{(t^3 + 3t^2 - 4)(t + 1)}{(t + 2)(t^2 + 2t)(t - 1)} \] Tại đây ta cần kiểm tra nếu \( t^3 + 3t^2 - 4 \) có thể rút gọn hay không, nhưng có thể thấy rằng chúng ta không thể rút gọn thêm được nữa mà không có thêm thông tin. **b) Tính giá trị của \( P \) với \( x = \frac{25}{9} \)**: Tính \( \sqrt{x} \): \[ \sqrt{x} = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3} \] Thay vào biểu thức: \[ P = \left( \frac{(\frac{5}{3})^2 - 2}{(\frac{5}{3})^2 + 2 \cdot \frac{5}{3}} + \frac{1}{\frac{5}{3} + 2} \right) \cdot \frac{\frac{5}{3} + 1}{\frac{5}{3} - 1} \] Tính từng phần: 1. \( (\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9} \), nên \( \frac{25}{9} - 2 = \frac{25}{9} - \frac{18}{9} = \frac{7}{9} \). 2. \( \frac{25}{9} + \frac{10}{3} = \frac{25}{9} + \frac{30}{9} = \frac{55}{9} \). 3. Tính: \[ \frac{\frac{7}{9}}{\frac{55}{9}} = \frac{7}{55} \] 4. Tính \( \frac{1}{\frac{5}{3} + 2} = \frac{1}{\frac{5}{3} + \frac{6}{3}} = \frac{1}{\frac{11}{3}} = \frac{3}{11} \). 5. Cộng lại: \[ \frac{7}{55} + \frac{3}{11} = \frac{7}{55} + \frac{15}{55} = \frac{22}{55} = \frac{2}{5} \] 6. Cuối cùng, tính: \[ P = \frac{2}{5} \cdot \frac{\frac{5}{3} + 1}{\frac{5}{3} - 1} = \frac{2}{5} \cdot \frac{\frac{5}{3} + \frac{3}{3}}{\frac{5}{3} - \frac{3}{3}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{\frac{8}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{2}{5} \cdot 4 = \frac{8}{5} \] **Kết luận**: Vậy, giá trị của \( P \) với \( x = \frac{25}{9} \) là \( \frac{8}{5} \).