« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$

a) Chứng minh $AIMK$ là hình chữ nhật

Xét tứ giác $AIMK$, ta có:

$\widehat{BAC} = 90^\circ$ (do $\Delta ABC$ vuông tại $A$)

$\widehat{AIM} = 90^\circ$ (do $I$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AB$)

$\widehat{AKM} = 90^\circ$ (do $K$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên $AC$)

Tứ giác $AIMK$ có ba góc vuông ($\widehat{BAC} = \widehat{AIM} = \widehat{AKM} = 90^\circ$) nên $AIMK$ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $\Delta HIK$ vuông cân

Xét $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ có $AH$ là đường cao.

Do đó, $AH$ đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác của góc $A$.

Suy ra:

$AH = HB = HC = \frac{1}{2}BC$

$\widehat{HAX} = 45^\circ$ (với $X$ thuộc $AB$) hay $\widehat{HAI} = 45^\circ$

$\widehat{HAK} = 45^\circ$

$\widehat{HBA} = 45^\circ$ hay $\widehat{HBI} = 45^\circ$

Xét $\Delta HIA$ và $\Delta HBM$:

Ta có $AH = HB$.

$\widehat{HAI} = \widehat{HBM} = 45^\circ$.

Mặt khác, trong hình chữ nhật $AIMK$, ta có $AI = MK$.

Trong $\Delta MKC$ vuông tại $K$, có $\widehat{C} = 45^\circ$ (vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$) nên $\Delta MKC$ vuông cân tại $K$.

Suy ra $MK = KC$.

Mà $MK = AI$ nên $AI = KC$.

Lại có $AC = AB$ và $KC = AI$ suy ra $AK = IB$.

Vì $AIMK$ là hình chữ nhật nên $AK = MI$.

Do đó, $IB = MI$.

Xét $\Delta HIA$ và $\Delta HBM$:

$AH = HB$

$\widehat{HAI} = \widehat{HBM} = 45^\circ$

$AI = BM$ (vì $\Delta MIB$ vuông cân tại $I$ nên $IB = IM$, kết hợp $AI = MK$ và $\Delta MKC$ vuông cân tại $K$ cho $MK = KC$, do đó $IB = KC$, mà $AB = AC$ nên $AI = AK = IB = MK$)

Do đó, $\Delta HIA = \Delta HBM$ (c-g-c) hoặc xét $\Delta HIK$ trực tiếp:

Vì $AIMK$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo $AM$ và $IK$ bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Lại có $AH \perp BC$ tại $H$ và $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$ nên $H$ thuộc đường tròn đường kính $AM$.

Từ đó, $\widehat{AHM} = 90^\circ$, suy ra $H$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật $AIMK$.

Do $AH = HG$ và tính chất đối xứng, ta có:

$HI = HK$

Xét góc $\widehat{IHK}$:

Ta có $\Delta HAI = \Delta HCK$ (c-g-c) do:

$HA = HC$

$\widehat{HAI} = \widehat{HCK} = 45^\circ$

$AI = CK$

Suy ra $HI = HK$ và $\widehat{AHI} = \widehat{CHK}$.

Lại có $\widehat{AHI} + \widehat{IHC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$.

Thay $\widehat{AHI} = \widehat{CHK}$ vào, ta được:

$\widehat{CHK} + \widehat{IHC} = 90^\circ$

$\widehat{IHK} = 90^\circ$

Tam giác $HIK$ có $HI = HK$ và $\widehat{IHK} = 90^\circ$ nên $\Delta HIK$ vuông cân tại $H$.