Một con lắc lò xo nằm ngang: m = 250 g k = 100 N/m Ban đầu vật đứng yên tại vị trí cân bằng. Truyền cho vật vận tốc ban đầu v0 = 80 cm/s. Tính: a) Biên độ dao động. b) Thời gian ngắn nhất để vật...

Cho bài toán con lắc lò xo nằm ngang với các dữ liệu: - m = 250 g = 0,25 kg - k = 100 N/m - Vận tốc ban đầu: v0 = 80 cm/s = 0,8 m/s - Ban đầu vật đứng yên tại vị trí cân bằng, truyền vận tốc v0 cho vật. Ta sẽ giải từng câu: --- **a) Tính biên độ dao động** Khi vật được truyền vận tốc ban đầu tại vị trí cân bằng, biên độ dao động A liên hệ với vận tốc cực đại vmax bằng: \[ v_{max} = A \omega \] với \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\). Tính \(\omega\): \[ \omega = \sqrt{\frac{100}{0,25}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s} \] Biên độ A là: \[ A = \frac{v_0}{\omega} = \frac{0,8}{20} = 0,04 \text{ m} = 4 \text{ cm} \] --- **b) Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí \(x = \frac{A}{2}\)** Phương trình dao động điều hòa: \[ x = A \sin(\omega t + \varphi) \] Tại thời điểm t=0, vật ở vị trí cân bằng và truyền vận tốc dương nên pha ban đầu \(\varphi = 0\). Do đó: \[ x = A \sin(\omega t) \] Ta cần tìm t khi: \[ x = \frac{A}{2} \Rightarrow \sin(\omega t) = \frac{1}{2} \] Giải phương trình: \[ \omega t = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} \] Vậy: \[ t = \frac{\pi}{6 \omega} = \frac{\pi}{6 \times 20} = \frac{\pi}{120} \approx 0,0262 \text{ s} \] --- **c) Quãng đường vật đi được trong \(\frac{3}{8}\) chu kỳ đầu tiên** Chu kỳ T là: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{20} = \frac{\pi}{10} \approx 0,314 \text{ s} \] Thời gian cần xét: \[ t = \frac{3}{8} T = \frac{3}{8} \times 0,314 = 0,1178 \text{ s} \] Phương trình vận tốc: \[ v = A \omega \cos(\omega t) = v_{max} \cos(\omega t) \] Ta sẽ xác định vị trí tại các thời điểm t=0 và t=0,1178 s: - Tại t=0: \(x(0) = A \sin(0) = 0\) - Tại t=0,1178 s: \[ x = A \sin(\omega t) = 0,04 \times \sin(20 \times 0,1178) = 0,04 \times \sin(2,356) \approx 0,04 \times 0,707 = 0,0283 \text{ m} \] Tuy nhiên để tính quãng đường đi được, ta cần xem vật chuyển động như thế nào trong khoảng thời gian đó. Ta chia khoảng thời gian \([0, 0,1178]\) s thành các khoảng thời gian mà vật đổi chiều không: Vật dao động với tần số \(\omega = 20\) rad/s. Một chu kỳ là 0,314 s, trong đó vật đi từ vị trí cân bằng đến biên độ A trong 1/4 chu kỳ (t = T/4 = 0,0785 s), sau đó đi ngược lại. Khoảng thời gian 0,1178 s > 0,0785 s nên vật đã đi từ vị trí cân bằng đến biên độ A rồi quay trở lại vị trí nào đó. Xác định vị trí tại t = 0,0785 s (biên độ): \[ x(0,0785) = A \sin(\omega \times 0,0785) = A \sin(\pi/2) = A = 0,04 \text{ m} \] Khoảng thời gian \([0, 0,0785]\) vật đi từ 0 đến A (quãng đường là A = 0,04 m). Khoảng thời gian còn lại \([0,0785, 0,1178]\) là 0,0393 s, vật đi từ vị trí A về vị trí \(x(0,1178) = 0,0283\) m. Quãng đường trong khoảng này là: \[ d_2 = A - 0,0283 = 0,04 - 0,0283 = 0,0117 \text{ m} \] Vậy tổng quãng đường đi được trong 3/8 chu kỳ là: \[ S = 0,04 + 0,0117 = 0,0517 \text{ m} = 5,17 \text{ cm} \] --- **d) Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian trên** Tốc độ trung bình: \[ v_{tb} = \frac{\text{quãng đường đi được}}{\text{thời gian}} = \frac{0,0517}{0,1178} \approx 0,439 \text{ m/s} \] --- ### Kết luận: a) Biên độ dao động \(A = 4 \text{ cm}\) b) Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí cân bằng đến \(x = \frac{A}{2}\) là \(t \approx 0,0262 \text{ s}\) c) Quãng đường vật đi được trong \(\frac{3}{8}\) chu kỳ đầu tiên là khoảng \(5,17 \text{ cm}\) d) Tốc độ trung bình của vật trong khoảng thời gian trên là khoảng \(0,439 \text{ m/s}\)