Một vật dao động điều hòa. Biết: Khi x = 4 cm thì Wđ = 0,24 J. Khi x = 8 cm thì Wđ = 0,12 J. Tính: a) Độ cứng lò xo. b) Biên độ dao động.

Cho một vật dao động điều hòa trên lò xo. Gọi: - \( k \): độ cứng lò xo (N/m) - \( A \): biên độ dao động (m) - \( x \): li độ tại một thời điểm (m) - \( W_\text{đ} \): động năng tại li độ \( x \) (J) - \( W_\text{t} \): thế năng tại li độ \( x \) (J) - \( E \): cơ năng toàn phần của dao động (J) --- **Phân tích bài toán:** Với dao động điều hòa trên lò xo: - Cơ năng toàn phần: \[ E = W_\text{đ} + W_\text{t} = \frac{1}{2}k A^2 \] - Thế năng tại vị trí \( x \): \[ W_\text{t} = \frac{1}{2} k x^2 \] - Động năng tại vị trí \( x \): \[ W_\text{đ} = E - W_\text{t} = \frac{1}{2}k A^2 - \frac{1}{2} k x^2 = \frac{1}{2}k (A^2 - x^2) \] --- **Dữ liệu bài toán:** - Khi \( x = 4\, cm = 0{,}04\, m \), \( W_\text{đ} = 0{,}24\, J \) - Khi \( x = 8\, cm = 0{,}08\, m \), \( W_\text{đ} = 0{,}12\, J \) --- **a) Tính độ cứng lò xo \( k \):** Viết hệ hai phương trình từ công thức động năng: \[ \begin{cases} 0{,}24 = \frac{1}{2} k (A^2 - (0{,}04)^2) \\ 0{,}12 = \frac{1}{2} k (A^2 - (0{,}08)^2) \end{cases} \] Gọi \( S = \frac{1}{2} k \). Ta có hệ: \[ \begin{cases} 0{,}24 = S (A^2 - 0{,}0016) \\ 0{,}12 = S (A^2 - 0{,}0064) \end{cases} \] Lấy hiệu hai phương trình: \[ 0{,}24 - 0{,}12 = S (A^2 - 0{,}0016 - A^2 + 0{,}0064) = S (0{,}0048) \] \[ 0{,}12 = S \times 0{,}0048 \implies S = \frac{0{,}12}{0{,}0048} = 25 \] Vậy: \[ S = \frac{1}{2} k = 25 \implies k = 50\, N/m \] --- **b) Tính biên độ dao động \( A \):** Từ một trong các phương trình, ví dụ phương trình thứ nhất: \[ 0{,}24 = S (A^2 - 0{,}0016) = 25 (A^2 - 0{,}0016) \] \[ \Rightarrow A^2 - 0{,}0016 = \frac{0{,}24}{25} = 0{,}0096 \] \[ A^2 = 0{,}0096 + 0{,}0016 = 0{,}0112 \] \[ A = \sqrt{0{,}0112} \approx 0{,}1058\, m = 10{,}58\, cm \] --- **Kết luận:** \[ \boxed{ \begin{cases} k = 50\, N/m \\ A \approx 10{,}6\, cm \end{cases} } \]