Một vật dao động điều hòa.

Tại hai thời điểm liên tiếp:

x1 = 3 cm

x2 = -3 cm

Khoảng thời gian giữa hai thời điểm là 0,25 s.

Biết A = 6 cm.

Tính chu kì.

Question

Một vật dao động điều hòa.

Tại hai thời điểm liên tiếp:

x1 = 3 cm

x2 = -3 cm

Khoảng thời gian giữa hai thời điểm là 0,25 s.

Biết A = 6 cm.

Tính chu kì.

Huycindy · Accepted Answer

Tại thời điểm thứ nhất vật có li độ $x_1 = 3\ (cm)$, góc pha tương ứng trên đường tròn lượng giác thỏa mãn $\cos(\Phi_1) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$.
Tại thời điểm tiếp theo vật có li độ $x_2 = -3\ (cm)$, góc pha tương ứng trên đường tròn lượng giác thỏa mãn $\cos(\Phi_2) = \dfrac{-3}{6} = -\dfrac{1}{2}$.
Góc quét nhỏ nhất giữa hai thời điểm liên tiếp trên đường tròn lượng giác là: $\Delta \varphi = \dfrac{\pi}{3}\ (rad)$
Chu kỳ dao động của vật là:
$T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{\dfrac{\Delta \varphi}{\Delta t}} = \dfrac{2\pi}{\dfrac{\dfrac{\pi}{3}}{0,25}} = 1,5\ (s)$

Timi · Answer

Cho:

- $ x_1 = 3 \text{ cm} $

- $ x_2 = -3 \text{ cm} $

- Khoảng thời gian giữa hai thời điểm liên tiếp là $ \Delta t = 0,25 \text{ s} $

- Biên độ dao động $ A = 6 \text{ cm} $

---

**Bài toán:**

Một vật dao động điều hòa có phương trình dạng:

$$
x = A \cos(\omega t + \varphi)
$$

Với $ \omega = \frac{2\pi}{T} $ là tần số góc, $ T $ là chu kỳ cần tìm.

---

**Giải:**

Tại hai thời điểm liên tiếp $ t_1 $ và $ t_2 = t_1 + \Delta t $, ta có:

$$
x_1 = A \cos(\omega t_1 + \varphi) = 3
$$

$$
x_2 = A \cos(\omega t_2 + \varphi) = -3
$$

Chia cho $ A = 6 \text{ cm} $:

$$
\cos(\theta_1) = \frac{3}{6} = 0.5
$$

$$
\cos(\theta_2) = \frac{-3}{6} = -0.5
$$

Với:

$$
\theta_1 = \omega t_1 + \varphi
$$

$$
\theta_2 = \omega t_2 + \varphi = \theta_1 + \omega \Delta t
$$

Ta thấy:

$$
\cos(\theta_1) = 0.5 \implies \theta_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

$$
\cos(\theta_2) = -0.5 \implies \theta_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}
$$

Giữa hai thời điểm:

$$
\theta_2 - \theta_1 = \omega \Delta t
$$

Ta tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa các góc thỏa mãn:

$$
\theta_2 - \theta_1 = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}
$$

hoặc

$$
\theta_2 - \theta_1 = \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = \pi
$$

Xét hai trường hợp:

1) $\theta_2 - \theta_1 = \frac{\pi}{3}$:

$$
\omega \Delta t = \frac{\pi}{3} \implies \omega = \frac{\pi}{3 \Delta t}
$$

2) $\theta_2 - \theta_1 = \pi$:

$$
\omega \Delta t = \pi \implies \omega = \frac{\pi}{\Delta t}
$$

Tiếp theo ta xét ý nghĩa vật lý: vật dao động điều hòa, và hai vị trí liên tiếp có giá trị $ x_1 = 3 \text{ cm} $, $ x_2 = -3 \text{ cm} $, có giá trị đối xứng.

Khoảng thời gian từ $ x_1=3 $ đến $ x_2 = -3 $ liên tiếp (khác dấu) sẽ là thời gian vật đi từ vị trí $ 3 \text{ cm} $ qua vị trí $ 0 $ đến vị trí $ -3 \text{ cm} $. Khoảng thời gian này không thể là $ \frac{\pi}{3\omega} $ nhỏ hơn khoảng thời gian bán chu kỳ $\frac{T}{2}$.

Do đó ta chọn:

$$
\omega \Delta t = \pi \implies \omega = \frac{\pi}{\Delta t} = \frac{\pi}{0,25} = 4\pi \quad (rad/s)
$$

Từ đó:

$$
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{4\pi} = \frac{1}{2} = 0,5 \text{ s}
$$

---

**Kết luận:**

Chu kì dao động của vật là:

$$
\boxed{T = 0,5 \text{ s}}
$$