Một con lắc lò xo: m = 0,4 kg k = 100 N/m Tại thời điểm t = 0: x = 6 cm v = -40 cm/s Tính: a) Biên độ. b) Pha ban đầu. c) Viết phương trình dao động.

Cho bài toán con lắc lò xo với các dữ liệu: - Khối lượng: \( m = 0{,}4\, \text{kg} \) - Độ cứng lò xo: \( k = 100\, \text{N/m} \) - Tại \( t=0 \): - Li độ: \( x_0 = 6\, \text{cm} = 0{,}06\, \text{m} \) - Vận tốc: \( v_0 = -40\, \text{cm/s} = -0{,}4\, \text{m/s} \) --- ### a) Tính biên độ dao động \( A \) Trước tiên, ta tính tần số góc \( \omega \): \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0{,}4}} = \sqrt{250} = 15{,}81\, \text{rad/s} \] Phương trình dao động của con lắc lò xo: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] Vận tốc là đạo hàm của li độ: \[ v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \varphi) \] Tại \( t=0 \), ta có hệ phương trình: \[ \begin{cases} x_0 = A \cos \varphi = 0{,}06 \\ v_0 = -A \omega \sin \varphi = -0{,}4 \end{cases} \] Ta chia vế thứ hai cho \( -\omega \): \[ \sin \varphi = \frac{v_0}{-A \omega} = \frac{-0{,}4}{-A \times 15{,}81} = \frac{0{,}4}{15{,}81 A} \] Từ hệ hai phương trình: \[ \cos \varphi = \frac{0{,}06}{A} \] \[ \sin \varphi = \frac{0{,}4}{15{,}81 A} = \frac{0{,}4}{15{,}81 A} = \frac{0{,}4}{15{,}81 A} \] Áp dụng tính chất lượng giác: \[ \sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1 \] Thay vào: \[ \left( \frac{0{,}4}{15{,}81 A} \right)^2 + \left( \frac{0{,}06}{A} \right)^2 = 1 \] \[ \frac{0{,}4^2}{(15{,}81)^2 A^2} + \frac{0{,}06^2}{A^2} = 1 \] \[ \frac{0{,}16}{249.8 A^2} + \frac{0{,}0036}{A^2} = 1 \] \[ \frac{0{,}16}{249{,}8 A^2} + \frac{0{,}0036}{A^2} = 1 \] Quy đồng mẫu số: \[ \frac{0{,}16}{249{,}8 A^2} + \frac{0{,}0036 \times 249{,}8}{249{,}8 A^2} = 1 \] \[ \frac{0{,}16 + 0{,}0036 \times 249{,}8}{249{,}8 A^2} = 1 \] Tính \( 0{,}0036 \times 249{,}8 \): \[ 0{,}0036 \times 249{,}8 \approx 0{,}8993 \] Do đó: \[ \frac{0{,}16 + 0{,}8993}{249{,}8 A^2} = 1 \Rightarrow \frac{1{,}0593}{249{,}8 A^2} = 1 \] \[ 249{,}8 A^2 = 1{,}0593 \] \[ A^2 = \frac{1{,}0593}{249{,}8} \approx 0{,}00424 \] \[ A = \sqrt{0{,}00424} = 0{,}0651\, \text{m} = 6{,}51\, \text{cm} \] --- ### b) Tính pha ban đầu \( \varphi \) Từ: \[ \cos \varphi = \frac{x_0}{A} = \frac{0{,}06}{0{,}0651} = 0{,}921 \] \[ \sin \varphi = \frac{v_0}{-A \omega} = \frac{-0{,}4}{-0{,}0651 \times 15{,}81} = \frac{-0{,}4}{-1{,}029} = 0{,}388 \] Ta thấy: - \(\cos \varphi > 0\) - \(\sin \varphi > 0\) Do đó, pha ban đầu nằm ở góc thứ nhất: \[ \varphi = \arccos 0{,}921 = 0{,397 \text{ rad}} \approx 22{,}75^\circ \] --- ### c) Viết phương trình dao động Phương trình dao động: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) = 0{,}0651 \cos(15{,}81 t + 0{,}397) \] --- ## Kết luận: \[ \boxed{ \begin{cases} \text{a) } A = 6{,}51\, \text{cm} \\ \text{b) } \varphi = 0{,}397\, \text{rad} \approx 22{,}75^\circ \\ \text{c) } x(t) = 0{,}0651 \cos(15{,}81 t + 0{,}397) \end{cases} } \]