Đáp án $+$ Giải thích Bài tập 2: Thực hiện các yêu cầu trong các trường hợp sau:,a) Biết $\cot\alpha=-a,~a0.$ Tính $\cos\alpha$,b) Cho $\cos x=\frac12.$ Tính giá trị biểu thức $P=3\sin^2x+4\cos^2x$,c) Cho $\cot\alpha=5.$ Tính giá trị của $P=2\cos^2\alpha+5\sin\alpha\cos\alpha+1$,d) Cho $\sin x+\cos x=\frac15.$ Tính sin x, cos x, tan x, cot x.

Question

Đáp án $+$ Giải thích Bài tập 2: Thực hiện các yêu cầu trong các trường hợp sau:,a) Biết $\cot\alpha=-a,~a>0.$ Tính $\cos\alpha$,b) Cho $\cos x=\frac12.$ Tính giá trị biểu thức $P=3\sin^2x+4\cos^2x$,c) Cho $\cot\alpha=5.$ Tính giá trị của $P=2\cos^2\alpha+5\sin\alpha\cos\alpha+1$,d) Cho $\sin x+\cos x=\frac15.$ Tính sin x, cos x, tan x, cot x.

@M.Thuyy · Accepted Answer

a)

Ta có công thức lượng giác cơ bản: $1 + \cot^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}$

Thế $\cot \alpha = -a$ vào công thức, ta được:

$1 + (-a)^2 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{1 + a^2}$

Do đó:

$\sin \alpha = \pm \frac{1}{\sqrt{1 + a^2}}$

Mặt khác, $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \implies \cos \alpha = \cot \alpha \cdot \sin \alpha = -a \cdot \sin \alpha$

Nếu $\sin \alpha > 0$ thì $\cos \alpha = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

Nếu $\sin \alpha < 0$ thì $\cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$

b)

Ta có: $P = 3\sin^2 x + 4\cos^2 x = 3(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos^2 x$

Vì $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ nên:

$P = 3 \cdot 1 + \cos^2 x = 3 + \cos^2 x$

Thay $\cos x = \frac{1}{2}$ vào biểu thức:

$P = 3 + \left(\frac{1}{2} ight)^2 = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}$

c)

Biến đổi biểu thức $P$:

$P = 2\cos^2 \alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + 1$

Thay $1 = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$ vào $P$:

$P = 2\cos^2 \alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 3\cos^2 \alpha + 5\sin \alpha \cos \alpha + \sin^2 \alpha$

Chia cả hai vế của $P$ cho $\sin^2 \alpha$ (với $\sin \alpha eq 0$ do $\cot \alpha = 5$):

$\frac{P}{\sin^2 \alpha} = 3\cot^2 \alpha + 5\cot \alpha + 1$

Mặt khác, $\frac{1}{\sin^2 \alpha} = 1 + \cot^2 \alpha = 1 + 5^2 = 26 \implies \sin^2 \alpha = \frac{1}{26}$

Thay $\cot \alpha = 5$ vào biểu thức:

$\frac{P}{\frac{1}{26}} = 3 \cdot 5^2 + 5 \cdot 5 + 1 = 75 + 25 + 1 = 101$

$\implies P = 101 \cdot \frac{1}{26} = \frac{101}{26}$

d)

Bình phương hai vế của đẳng thức $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$:

$(\sin x + \cos x)^2 = \left(\frac{1}{5} ight)^2$

$\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = \frac{1}{25}$

$1 + 2\sin x \cos x = \frac{1}{25} \implies 2\sin x \cos x = -\frac{24}{25} \implies \sin x \cos x = -\frac{12}{25}$

Xét biểu thức $(\sin x - \cos x)^2$:

$(\sin x - \cos x)^2 = (\sin x + \cos x)^2 - 4\sin x \cos x = \frac{1}{25} - 4 \cdot \left(-\frac{12}{25} ight) = \frac{49}{25}$

$\implies \sin x - \cos x = \pm \frac{7}{5}$

Trường hợp 1: $\sin x - \cos x = \frac{7}{5}$

Kết hợp với $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$, ta giải hệ phương trình:

$\sin x = \frac{\frac{1}{5} + \frac{7}{5}}{2} = \frac{4}{5}$

$\cos x = \frac{1}{5} - \frac{4}{5} = -\frac{3}{5}$

$ an x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{4}{3}$

$\cot x = \frac{1}{ an x} = -\frac{3}{4}$

Trường hợp 2: $\sin x - \cos x = -\frac{7}{5}$

Kết hợp với $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$, ta giải hệ phương trình:

$\sin x = \frac{\frac{1}{5} - \frac{7}{5}}{2} = -\frac{3}{5}$

$\cos x = \frac{1}{5} - \left(-\frac{3}{5} ight) = \frac{4}{5}$

$ an x = \frac{\sin x}{\cos x} = -\frac{3}{4}$

$\cot x = \frac{1}{ an x} = -\frac{4}{3}$

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần một trong bài tập này:

### Phần a:
Biết $\cot\alpha = -a$, với $a > 0$. 
Tính $\cos\alpha$.

Ta có:
$$
\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \implies \cos\alpha = -a \sin\alpha.
$$

Sử dụng định nghĩa của $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$:
$$
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1.
$$
Thay $\cos\alpha$ vào phương trình trên:
$$
\sin^2\alpha + (-a \sin\alpha)^2 = 1 \implies \sin^2\alpha + a^2 \sin^2\alpha = 1 \implies (1 + a^2)\sin^2\alpha = 1.
$$
Giải cho $\sin^2\alpha$:
$$
\sin^2\alpha = \frac{1}{1 + a^2}.
$$
Tính $\cos^2\alpha$:
$$
\cos^2\alpha = a^2 \sin^2\alpha = a^2 \cdot \frac{1}{1 + a^2} = \frac{a^2}{1 + a^2}.
$$
Vì vậy:
$$
\cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{a^2}{1 + a^2}} = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}} \text{ (vì $a > 0$ và $\cos\alpha$ có thể dương hoặc âm)}.
$$

### Đáp án a:
$\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$ hoặc $\cos\alpha = -\frac{a}{\sqrt{1 + a^2}}$.

---

### Phần b:
Cho $\cos x = \frac{1}{2}$. 
Tính giá trị biểu thức $P = 3\sin^2x + 4\cos^2x$.

Ta có:
$$
\cos^2x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}.
$$
Tính $\sin^2x$:
$$
\sin^2x = 1 - \cos^2x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}.
$$
Thay vào biểu thức $P$:
$$
P = 3\sin^2x + 4\cos^2x = 3 \cdot \frac{3}{4} + 4 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4} + 1 = \frac{9}{4} + \frac{4}{4} = \frac{13}{4}.
$$

### Đáp án b:
$P = \frac{13}{4}$.

---

### Phần c:
Cho $\cot\alpha = 5$. 
Tính giá trị của $P = 2\cos^2\alpha + 5\sin\alpha\cos\alpha + 1$.

Ta có:
$$
\cot\alpha = 5 \implies \tan\alpha = \frac{1}{5} \implies \sin\alpha = \frac{1}{\sqrt{26}}, \quad \cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{26}}.
$$
Tính $\cos^2\alpha$:
$$
\cos^2\alpha = \left(\frac{5}{\sqrt{26}}\right)^2 = \frac{25}{26}.
$$
Tính $\sin\alpha\cos\alpha$:
$$
\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \frac{5}{\sqrt{26}} = \frac{5}{26}.
$$
Thay vào biểu thức $P$:
$$
P = 2\cos^2\alpha + 5\sin\alpha\cos\alpha + 1 = 2 \cdot \frac{25}{26} + 5 \cdot \frac{5}{26} + 1 = \frac{50}{26} + \frac{25}{26} + 1 = \frac{75}{26} + \frac{26}{26} = \frac{101}{26}.
$$

### Đáp án c:
$P = \frac{101}{26}$.

---

### Phần d:
Cho $\sin x + \cos x = \frac{1}{5}$. 
Tính $\sin x$, $\cos x$, $\tan x$, $\cot x$.

Gọi $\sin x = a$ và $\cos x = b$, ta có:
$$
a + b = \frac{1}{5} \quad \text{và} \quad a^2 + b^2 = 1.
$$
Ta biết rằng:
$$
a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = \left(\frac{1}{5}\right)^2 - 2ab = \frac{1}{25} - 2ab = 1.
$$
Giải cho $ab$:
$$
-2ab = 1 - \frac{1}{25} = \frac{24}{25} \implies ab = -\frac{12}{25}.
$$
Giải phương trình bậc hai $t^2 - \frac{1}{5}t - \frac{12}{25} = 0$:
$$
\Delta = \left(\frac{1}{5}\right)^2 + 4 \cdot \frac{12}{25} = \frac{1}{25} + \frac{48}{25} = \frac{49}{25} \implies t = \frac{\frac{1}{5} \pm \sqrt{\frac{49}{25}}}{2} = \frac{\frac{1}{5} \pm \frac{7}{5}}{2} = \frac{8}{10}, \frac{-6}{10} \implies t = \frac{4}{5}, -\frac{3}{5}.
$$
Do đó:
$\sin x = \frac{4}{5}$ và $\cos x = -\frac{3}{5}$ (hoặc ngược lại, nhưng chúng ta chỉ cần lấy một cặp).

Tính:
$$
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = -\frac{3}{4}.
$$

### Đáp án d:
$\sin x = \frac{4}{5}$, $\cos x = -\frac{3}{5}$, $\tan x = -\frac{4}{3}$, $\cot x = -\frac{3}{4}$.