Đáp án $+$ Giải thích Câu 12: Đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x}$ có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang?,A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.

Question

♪♌Ác Quỷ_Cô Đơn♌ ★ :[[C✟O✟D]] · Accepted Answer

Chọn C

Tập xác định của hàm số:

Điều kiện $5x^2 + x + 1 > 0$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Điều kiện $2x - 1 \ge 0$ suy ra $x \ge \frac{1}{2}$.

Điều kiện mẫu thức khác 0:

$\sqrt{2x - 1} - x = 0$

$\sqrt{2x - 1} = x$

$2x - 1 = x^2$

$x^2 - 2x + 1 = 0$

$(x - 1)^2 = 0$

$x = 1$ (thỏa mãn $x \ge \frac{1}{2}$)

Vậy tập xác định là $D = [\frac{1}{2}; +\infty) \setminus \{1\}$.

Tìm tiệm cận ngang:

Do $x \ge \frac{1}{2}$ nên ta chỉ xét giới hạn khi $x o +\infty$:

$\lim_{x o +\infty} y = \lim_{x o +\infty} \frac{\sqrt{5x^2 + x + 1}}{\sqrt{2x - 1} - x}$

Chia cả tử và mẫu cho $x$ ($x > 0$):

$\lim_{x o +\infty} \frac{\sqrt{5 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{\sqrt{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}} - 1} = \frac{\sqrt{5}}{-1} = -\sqrt{5}$

Do đó, đồ thị hàm số có 1 đường tiệm cận ngang là $y = -\sqrt{5}$.

Tìm tiệm cận đứng:

Xét tại điểm $x = 1$:

$\lim_{x o 1^+} \frac{\sqrt{5x^2 + x + 1}}{\sqrt{2x - 1} - x}$

Thay $x = 1$ vào tử số ta được $\sqrt{7} e 0$.

Mẫu số $(\sqrt{2x - 1} - x) o 0$ khi $x o 1$.

Do đó $\lim_{x o 1^+} y = -\infty$ và $\lim_{x o 1^-} y = -\infty$.

Suy ra $x = 1$ là 1 đường tiệm cận đứng.

Xét biên $x = \frac{1}{2}$:

Tập xác định có chứa điểm $x = \frac{1}{2}$, tuy nhiên tại $x = \frac{1}{2}$ hàm số có giá trị xác định $y = -\frac{\sqrt{11}}{2}$ nên $x = \frac{1}{2}$ không phải là tiệm cận đứng.

Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là $1 + 1 = 2$.

Timi · Answer

Để xác định số lượng đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của hàm số $ y = \frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x} $, chúng ta thực hiện các bước sau:

### 1. Tìm đường tiệm cận đứng
Đường tiệm cận đứng xảy ra khi mẫu số bằng 0 và tử số khác 0.

Xét mẫu số:
$$
\sqrt{2x-1} - x = 0 \implies \sqrt{2x-1} = x
$$
Bình phương hai vế:
$$
2x - 1 = x^2 \implies x^2 - 2x + 1 = 0 \implies (x-1)^2 = 0
$$
Do đó, có một nghiệm:
$$
x = 1
$$
Ta cần kiểm tra xem tại $ x = 1 $ thì tử số có bằng 0 hay không:
$$
\sqrt{5(1)^2 + 1 + 1} = \sqrt{5 + 1 + 1} = \sqrt{7} \neq 0
$$
Vậy tại $ x = 1 $ là một đường tiệm cận đứng.

### 2. Tìm đường tiệm cận ngang
Đường tiệm cận ngang xảy ra khi $ x $ tiến đến vô cùng. Ta xem xét giới hạn của hàm số khi $ x \to +\infty $ và $ x \to -\infty $:

Tử số:
$$
\sqrt{5x^2 + x + 1} \sim \sqrt{5} x \quad (x \to +\infty)
$$
Mẫu số:
$$
\sqrt{2x-1} - x = \sqrt{2} \sqrt{x} - x \sim \sqrt{2} \sqrt{x} - x \quad (x \to +\infty)
$$
Vì $ x $ chi phối mẫu số nên ta có:
$$
\sqrt{2x-1} - x \sim -x \quad (x \to +\infty)
$$

Do đó, giới hạn khi $ x \to +\infty $:
$$
y = \frac{\sqrt{5x^2+x+1}}{\sqrt{2x-1}-x} \to \frac{\sqrt{5} x}{-x} = -\sqrt{5} \quad (x \to +\infty)
$$

Tương tự, khi $ x \to -\infty $:
$$
\sqrt{5x^2+x+1} \sim \sqrt{5} (-x) \quad (x \to -\infty)
$$
Mẫu số:
$$
\sqrt{2x-1} - x \sim -x \quad (x \to -\infty)
$$
Vậy giới hạn khi $ x \to -\infty $:
$$
y = \frac{-\sqrt{5} (-x)}{-x} = \sqrt{5} \quad (x \to -\infty)
$$

### Kết luận
Hàm số có:
- 1 đường tiệm cận đứng tại $ x = 1 $.
- 1 đường tiệm cận ngang tại $ y = -\sqrt{5} $ và $ y = \sqrt{5} $.

Vậy, tổng số đường tiệm cận là 2.

**Đáp án là D. 2.**