Đáp án $+$ Giải thích

Đồ thị $(C)$ có đường tiệm cận đứng là $x = 1$ và đường tiệm cận ngang là $y = 2$.

Vì $M(a; b)$ thuộc $(C)$ và $a > 0$ nên $b = \frac{2a-1}{a-1} = 2 + \frac{1}{a-1}$.

Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng $x = 1$ là $d_1 = \vert{}a - 1\vert{}$.

Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang $y = 2$ là $d_2 = \vert{}b - 2\vert{} = \left\vert{}\frac{1}{a - 1}\right\vert{}$.

Tổng khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận là:

$d = d_1 + d_2 = \vert{}a - 1\vert{} + \frac{1}{\vert{}a - 1\vert{}}$

Áp dụng bất đẳng thức BĐT Co-si cho hai số dương $\vert{}a - 1\vert{}$ và $\frac{1}{\vert{}a - 1\vert{}}$:

$d \ge 2 \sqrt{\vert{}a - 1\vert{} . \frac{1}{\vert{}a - 1\vert{}}} = 2$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\vert{}a - 1\vert{} = \frac{1}{\vert{}a - 1\vert{}}$

$\vert{}a - 1\vert{}^2 = 1$

$(a - 1)^2 = 1$

Trường hợp 1:

$a - 1 = 1$

$a = 2$ (thỏa mãn $a > 0$)

Suy ra $b = 2 + \frac{1}{2 - 1} = 3$.

Trường hợp 2:

$a - 1 = -1$

$a = 0$ (loại vì $a > 0$).

Với $a = 2$ và $b = 3$, ta tính tổng:

$a + 2b = 2 + 2 . 3 = 8$.

Vậy tổng $a + 2b$ bằng 8.