Đáp án $+$ Giải thích Câu 12: bao nhiêu trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $[-100;100]$ để hàm số,$y=(m-1)\sin x+(2m+7)x$ đồng biến trên $\mathbb{R}.$,A. 110. B. 105. C. 103. D. 102.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$y = (m - 1)\sin x + (2m + 7)x$
$y&#x27; = (m - 1)\cos x + 2m + 7$
Để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $y&#x27; \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$
$(m - 1)\cos x + 2m + 7 \geq 0, \forall x \in \mathbb{R}$
$\vert{}m - 1\vert{} \leq 2m + 7$
$\begin{cases} 2m + 7 \geq 0 \ -(2m + 7) \leq m - 1 \ m - 1 \leq 2m + 7 \end{cases}$
$\begin{cases} m \geq -\dfrac{7}{2} \ m \geq -2 \ m \geq -8 \end{cases}$
$m \geq -2$
Do $m \in [-100; 100]$ và $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in \{-2; -1; 0; \dots; 100\}$
Số giá trị nguyên của $m$ là: $100 - (-2) + 1 = 103$
$\Rightarrowm C$

Timi · Answer

Để hàm số $ y = (m-1)\sin x + (2m+7)x $ đồng biến trên $ \mathbb{R} $, đạo hàm của nó phải không âm với mọi giá trị của $ x $.

Tính đạo hàm:

$$
y&#x27; = (m-1)\cos x + (2m+7)
$$

Hàm số $ y&#x27; $ phải không âm, tức là:

$$
(m-1)\cos x + (2m+7) \geq 0 \quad \text{với mọi } x
$$

Biểu thức này phụ thuộc vào $ \cos x $, mà $ \cos x $ dao động giữa -1 và 1.

1. **Trường hợp $ \cos x = 1 $**:
   $$
   (m-1) + (2m+7) \geq 0 \implies 3m + 6 \geq 0 \implies m \geq -2
   $$

2. **Trường hợp $ \cos x = -1 $**:
   $$
   -(m-1) + (2m+7) \geq 0 \implies -m + 1 + 2m + 7 \geq 0 \implies m + 8 \geq 0 \implies m \geq -8
   $$

Kết hợp hai điều kiện trên, ta có:

- $ m \geq -2 $ (điều kiện mạnh hơn).

Bây giờ chúng ta cần kiểm tra thêm điều kiện với giới hạn của $ m $ trong đoạn $ [-100, 100] $:

- Điều kiện $ m \geq -2 $ cho phép $ m $ trong khoảng $ [-2, 100] $.

Đoạn này có chiều dài:

$$
100 - (-2) = 102
$$

Vậy số nguyên trong đoạn này là:

$$
-2, -1, 0, 1, 2, \ldots, 99, 100
$$

Số nguyên từ -2 đến 100 là:

- Từ -2 đến 0: 3 số nguyên (-2, -1, 0)
- Từ 1 đến 100: 100 số nguyên (1 đến 100)

Tổng cộng có:

$$
3 + 100 = 103
$$

Vậy số lượng trị nguyên của tham số $ m $ thuộc đoạn $ [-100;100] $ để hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R} $ là **103**.

**Đáp án là C. 103.**

Bùi Thị Hương Giang · Answer

Đáp án: C. 103.

Ta có:

y = (m − 1)sinx + (2m + 7)x.

Đạo hàm:

y' = (m − 1)cosx + 2m + 7.

Để hàm số đồng biến trên R thì:

y' ≥ 0, với mọi x.

Vì:

−1 ≤ cosx ≤ 1

nên giá trị nhỏ nhất của y' là:

y'min = 2m + 7 − |m − 1|.

Do đó cần:

2m + 7 − |m − 1| ≥ 0.

Xét hai trường hợp:

Nếu m ≥ 1:

|m − 1| = m − 1

⇒ 2m + 7 − (m − 1) ≥ 0

⇔ m + 8 ≥ 0 (luôn đúng).

Nếu m < 1:

|m − 1| = 1 − m

⇒ 2m + 7 − (1 − m) ≥ 0

⇔ 3m + 6 ≥ 0

⇔ m ≥ −2.

Vậy điều kiện là:

m ≥ −2.

Các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [−100; 100] là:

m = −2, −1, 0, ..., 100.

Số giá trị là:

100 − (−2) + 1 = 103.

Đáp án đúng: C. 103.