« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$

Để hàm số \( y = (m-3)x - (2m+1)\cos x \) luôn nghịch biến trên \( \mathbb{R} \), ta cần xem xét đạo hàm của hàm số này và yêu cầu đạo hàm phải luôn nhỏ hơn 0. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{dy}{dx} = (m-3) - (2m+1)(-\sin x) = (m-3) + (2m+1)\sin x \] Để hàm số luôn nghịch biến, ta yêu cầu: \[ y' < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \] Điều này có nghĩa là: \[ (m-3) + (2m+1)\sin x < 0 \] Xét giá trị của \( \sin x \). Hàm số \( \sin x \) có giá trị nằm trong khoảng từ \(-1\) đến \(1\). Do đó, để đảm bảo bất đẳng thức trên luôn đúng, ta cần xét 2 trường hợp: 1. Khi \( \sin x = 1 \): \[ (m-3) + (2m+1) < 0 \] \[ m - 3 + 2m + 1 < 0 \] \[ 3m - 2 < 0 \quad \Rightarrow \quad 3m < 2 \quad \Rightarrow \quad m < \frac{2}{3} \] 2. Khi \( \sin x = -1 \): \[ (m-3) - (2m+1) < 0 \] \[ m - 3 - 2m - 1 < 0 \] \[ -m - 4 < 0 \quad \Rightarrow \quad -m < 4 \quad \Rightarrow \quad m > -4 \] Từ hai bất đẳng thức trên, ta có: \[ -4 < m < \frac{2}{3} \] Vậy, tất cả các giá trị thực của tham số \( m \) sao cho hàm số \( y \) luôn nghịch biến trên \( \mathbb{R} \) là: \[ \boxed{(-4, \frac{2}{3})} \]