Bài 10 trang 102 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. CD là một đường kính di động của (O). Các đường thẳng AC, AD cắt tiếp tuyến với (O) tại B lần lượt tại P và Q.

a) Chứng minh CPQD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh trung tuyến AI của tam giác APQ vuông góc với đường thẳng CD.

c) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng ba lần diện tích tam giác ACD.

Lời giải chi tiết

a) Ta có : \(\widehat {ACB} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow AC \bot BC\).

\( \Rightarrow BC \bot AP\)

Xét tam giác vuông BCP có : \(\widehat {BPC} + \widehat {CBP} = {90^0}\)(tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Mà \(\widehat {ABC} + \widehat {CBP} = \widehat {ABP} = {90^0}\)

\( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {BPC}\). Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD)

\( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BPC}\).

Ta có : \(\widehat {ADC} + \widehat {CDQ} = {180^0}\) (hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {BPC} + \widehat {CDQ} = {180^0}\).

Vậy tứ giác CPQD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Gọi \(E = AI \cap CD\).

Ta có : \(\widehat {CAD} = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \Delta APQ\) vuông tại A \( \Rightarrow AI = \dfrac{1}{2}PQ = IP = IQ\) (định lí đường trung tuyến trong tam giác vuông).

\( \Rightarrow \Delta IAQ\) cân tại I \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat Q\) (2 góc ở đáy) (1)

Xét tam giác vuông APQ có: \(\widehat Q + \widehat P = {90^0}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

Xét tam giác vuông ABP có: \(\widehat {{A_2}} + \widehat P = {90^0}\) (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông)

\( \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat Q\)  (2). Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{A_2}}\).

Và \(\widehat {ADC} = \widehat {BPC}\,\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \Delta ADE\) có : \(\widehat {{A_1}} + \widehat {ADC} = \widehat {{A_2}} + \widehat {BPC} = {90^0} \)

\(\Rightarrow \Delta ADE\) vuông tại E.

Vậy \(AI \bot CD\) tại E.

c) \({S_{CPQD}} = 3{S_{ACD}} \Rightarrow {S_{APQ}} = 4{S_{ACD}}\).

Xét \(\Delta APQ\) và \(\Delta ADC\) có : \(\widehat {PAQ}\) chung ; \(\widehat {BPC} = \widehat {ADC}\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \Delta APQ \sim \Delta ADC\,\,\left( {g.g} \right) \)

\(\Rightarrow \dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{APQ}}}} = {\left( {\dfrac{{CD}}{{PQ}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{CD}}{{PQ}} = \dfrac{1}{2}\)

Ta có : \(\dfrac{{{S_{ACD}}}}{{{S_{APQ}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}AE.CD}}{{\dfrac{1}{2}AB.PQ}} = \dfrac{{AE}}{{AB}}.\dfrac{{CD}}{{PQ}} \)

\(\Rightarrow \dfrac{1}{4} = \dfrac{{AE}}{{AB}}.\dfrac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \dfrac{{AE}}{{AB}} = \dfrac{1}{2} \)

\(\Rightarrow AE = \dfrac{1}{2}AB\) \( \Rightarrow E \equiv O\)

Mà \(AE \bot CD\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow AO \bot CD\) hay \(AB \bot CD\).

Vậy khi \(CD \bot AB\) thì \({S_{CPQD}} = 3{S_{ACD}}.\)