Câu 10 trang 147 SGK Giải tích 12

a) \(\displaystyle{{{2^x}} \over {{3^x} - {2^x}}} \le 2\)

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các phương pháp giải bất phương trình mũ và logarit để làm bài.

+) \({\left( a \right)^{f\left( x \right)}} < b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f\left( x \right) < {\log _a}b
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f\left( x \right) > {\log _a}b
\end{array} \right.
\end{array} \right..\)

+) \({\log _a}f\left( x \right) > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
a > 1\\
f\left( x \right) > {a^b}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
0 < a < 1\\
f\left( x \right) < {a^b}
\end{array} \right.
\end{array} \right..\)

Lời giải chi tiết:

Chia cả tử và mẫu của bất phương trình cho \(2^x>0\) ta có:

\(\displaystyle {{{2^x}} \over {{3^x} - {2^x}}} \le 2 \Leftrightarrow {1 \over {{{({3 \over 2})}^x} - 1}} \le 2\)

Đặt \(\displaystyle t = {({3 \over 2})^x}(t > 0)\) , bất phương trình trở thành:

\(\eqalign{
& {1 \over {t - 1}} \le 2 \Leftrightarrow {1 \over {t - 1}} - 2 \le 0 \Leftrightarrow {{ - 2t + 3} \over {t - 1}} \le 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 < t < 1 \hfill \cr 
t \ge {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{({3 \over 2})^x} < 1 \hfill \cr 
{({3 \over 2})^x} \ge {3 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < 0 \hfill \cr 
x \ge 1 \hfill \cr} \right.. \cr} \)

b) \(\displaystyle{({1 \over 2})^{{{\log }_2}({x^2} - 1)}} > 1\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {({1 \over 2})^{{{\log }_2}({x^2} - 1)}} > 1 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 1 > 0 \hfill \cr 
{\log _2}({x^2} - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow 0 < {x^2} - 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < |x| < \sqrt 2 \cr 
& \Leftrightarrow x \in ( - \sqrt 2 , - 1) \cup (1,\sqrt 2 ) \cr} \)

c) \(\displaystyle{\log ^2}x + 3\log x \ge 4\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\eqalign{
& {\log ^2}x + 3\log x \ge 4 \Leftrightarrow (\log x + 4)(logx - 1) \ge 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\mathop{\rm logx}\nolimits} \ge 1 \hfill \cr 
logx \le - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 10 \hfill \cr 
0 < x \le {10^{ - 4}} \hfill \cr} \right. \cr} \)

d) \(\displaystyle{{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& {{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 4} \Leftrightarrow {{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + 2{{\log }_4}x}} \le {1 \over 4} \cr  &  \Leftrightarrow \frac{{4 - 4{{\log }_4}x - 1 - 2{{\log }_4}x}}{{4\left( {1 + {{\log }_4}x} \right)}} \le 0 \cr
& \Leftrightarrow {{3 - 6{{\log }_4}x} \over {1 + 2{{\log }_4}x}}\le0  \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _4}x \le {{ - 1} \over 2} \hfill \cr 
{\log _4}x \ge {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 < x < {1 \over 2} \hfill \cr 
x \ge 2 \hfill \cr} \right. .\cr} \)