Bài 10 trang 49 SGK Hình học lớp 12

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABC\) có bốn đỉnh đều nằm trên một mặt cầu, \(SA = a, SB = b, SC = c\) và ba cạnh \(SA, SB, SC\) đôi một vuông góc. Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu được tạo bởi mặt cầu đó.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác \(S.ABC\). Hạ \(IJ\) vuông góc \((SAB)\), vì \(I\) cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\) nên \(J\) cũng cách đều \(3\) điểm \(S, A, B\).

Vì tam giác \(SAB\) vuông đỉnh \(S\) nên \(J\) là trung điểm của \(AB\).

Ta có \(SJ ={1 \over 2}AB = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}}\)

Do \(SC\) vuông góc \((SAB)\) nên \(IJ // SC\).

Gọi \(H\) là trung điểm \(SC\), ta có \(SC=SI\) nên \(IH \bot SC \).

Xét tứ giác \(SHIJ\) ta có: \( \widehat {SHI}= 90 ^0\) do \(IH \bot SC \); 

\( \widehat {HSJ}= 90 ^0\) do \(SC \bot (SAB) \) chứa \(SJ\);

\(\widehat {IJS}\) do \(IJ \bot (SAB) \) chứa \(SJ\)

Suy ra tứ giác \(SHIJ\) là hình chữ nhật.

\(\rightarrow SH = IJ = {c \over 2}\).

Do vậy, \(I{S^2} = I{J^2} + S{J^2} = {{({a^2} + {b^2} + {c^2})} \over 4}\) và  bán kính hình cầu ngoại tiếp \(S.ABC\) là 

\(R = IS = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Diện tích mặt cầu là:

\(S = 4\pi {R^2} = \pi ({a^2} + {b^2} + {c^2})\)