Bài 1.28 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(-3;4\right)$.

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

Cách 1:

Lấy A(0; 5), B(1; 7) thuộc đường thẳng d.

Gọi A', B' tương ứng là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(-3;4\right)$.

Khi đó: $\overrightarrow{AA\text{'}}=\overrightarrow{u}$và $\overrightarrow{BB\text{'}}=\overrightarrow{u}$. Suy ra A'(– 3; 9) và B'(– 2; 11).

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(-3;4\right)$ nên hai điểm A', B' thuộc đường thẳng d'.

Ta có: $\overrightarrow{A\text{'}B\text{'}}=\left(1;2\right)$, suy ra đường thẳng d' có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$.

Phương trình đường thẳng d' là 2(x + 3) – (y – 9) = 0 hay 2x – y + 15 = 0.

Cách 2:

Gọi M(x; y) thuộc đường thẳng d và M'(x'; y') là ảnh của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(-3;4\right)$. Khi đó $\overrightarrow{MM\text{'}}=\overrightarrow{u}$ $\iff \left\{\begin{array}{c}x\text{'}-x=-3\\ y\text{'}-y=4\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}x=x\text{'}+3\\ y=y\text{'}-4\end{array}\right.$.

Ta có M thuộc ∆ ⇔ 2x – y + 5 = 0 ⇔ 2(x' + 3) – (y' – 4) + 5 = 0 ⇔ 2x' – y' + 15 = 0. Do đó, M'(x'; y') thuộc đường thẳng có phương trình 2x – y + 15 = 0.

Vì đường thẳng d' là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{u}\left(-3;4\right)$ nên M' thuộc đường thẳng d'.

Vậy phương trình đường thẳng d' là 2x – y + 15 = 0.