Bài 13 trang 50 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Với giá trị nào của m thì các phương trình sau có nghiệm kép? Tìm nghiệm kép đó.

a) \(2{x^2} - 2x + m = 0\)

b) \({x^2} + 3mx - m + 2 = 0\)

c) \({x^2} - (m - 2)x + 1 = 0\)

Lời giải chi tiết

a) \(2{x^2} - 2x + m = 0\)

Ta có: \(a = 2;b' =  - 1;c = m;\Delta ' = 1 - 2m\)

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow 1 - 2m = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

Với \(m = \dfrac{1}{2}\) phương trình trở thành \(2{x^2} - 2x + \dfrac{1}{2} = 0\) . Phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{{b'}}{a} = \dfrac{1}{2}\)

b) \({x^2} + 3mx - m + 2 = 0\)

Ta có: \(a = 1;b = 3m;c =  - m + 2;\)

\(\Delta  = 9{m^2} - 4\left( { - m + 2} \right) \)\(\;= 9{m^2} + 4m - 8\)

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta  = 0 \)

\(\Leftrightarrow 9{m^2} + 4m - 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\\m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\end{array} \right.\)

+) Với \(m = \dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}\) Phương trình có nghiệm kép là:\({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{3m}}{2} \)\(\,=  - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 + 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 - \sqrt {19} }}{3}\)

+) Với \(m = \dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}\)  Phương trình có nghiệm kép là:\({x_1} = {x_2} =  - \dfrac{b}{{2a}} =  - \dfrac{{3m}}{2}\)\(\; =  - \dfrac{{3.\dfrac{{ - 2 - 2\sqrt {19} }}{9}}}{2} = \dfrac{{1 + \sqrt {19} }}{3}\)

c) \({x^2} - \left( {m - 2} \right)x + 1 = 0;\)

\(a = 1;b =  - \left( {m - 2} \right);c = 1;\)

\(\Delta  = {\left( {m - 2} \right)^2} - 4\)

Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta  = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} = 4 \)

\(\Leftrightarrow m - 2 =  \pm 2\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4\\m = 0\end{array} \right.\)

+) TH1: với \(m = 4\) ta có: phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} = 1\)

+) TH2: với \(m = 0\) ta có phương trình có nghiệm kép là: \({x_1} = {x_2} = \dfrac{{m - 2}}{2} =  - 1\)