Bài 1.30 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9. Phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Viết phương trình đường tròn (C').

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

Ta có (C): (x – 1)² + (y + 2)² = 9 hay (x – 1)² + [y – (– 2)]² = 3².

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; – 2) và bán kính R = 3.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 nên I' là ảnh của I qua phép vị tự tâm O(0; 0) với tỉ số k = – 2 và R' = |– 2|.R = 2 . 3 = 6.

Vì I' là ảnh của I qua phép vị tự V_{(O, – 2)} nên $\overrightarrow{OI\text{'}}=-2\overrightarrow{OI}$.

Suy ra $\left\{\begin{array}{c}{x}_{I\text{'}}=-2x_I=-2.1=-2\\ y_{I\text{'}}=-2y_I=-2.\left(-2\right)=4\end{array}\right.$ nên I'(– 2; 4).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

[x – (– 2)]² + (y – 4)² = 6² hay (x + 2)² + (y – 4)² = 36.