Bài 15 trang 226 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình đường thẳng AB.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng AB đi qua $$ có vectơ chỉ phương $$ nên có phương trình :

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P).

Lời giải chi tiết:

Ta nhận thấy A $$ mp(P) nên hình chiếu vuông góc của AB trên mp(P) là đường thẳng AH, trong đó H là hình chiếu của điểm B trên mp(P).

Đường thẳng BH qua $$ và vuông góc với mp(P) nên có phương trình

Do đó toa độ $$ của điểm H thoả mãn hệ: $$

Giải hệ ta được $$.

Phương trình đường thẳng AH là

Viết phương trình đường thẳng d nằm trong mp(P) và mọi điểm của d cách đều hai điểm A, B

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d nằm trong mp(P), đồng thời nằm trong mặt phẳng trung trực ($$) của đoạn AB. Gọi I  là trung điếm AB, ta có$$

Mặt phẳng ($$) đi qua I  và có vectơ pháp tuyến là $$ nên có phương trình :              $$

Vậy d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và ($$). Do đó d có phương trình : 

Viết phương trình đường vuông góc chung của AB và d.

Lời giải chi tiết:

Vì $$ và $$nên nếu trong $$, kẻ đường thẳng IM vuông góc với $$ thì IM chính là đường vuông góc chung của AB và d.

Ta có $$

Đường thẳng d  có vec tơ chỉ phương là $$

Vậy đường vuông góc chung của AB và d là đường thẳng qua I và có vec tơ chỉ phương $$ đường thẳng đó có phương trình :

Tìm điểm K thuộc đường thẳng AB ($$) sao cho

d(K,(P))=d(B,(P)).

Lời giải chi tiết:

Cách 1. $$

Với t=1, K=(0;2;1) nên \(K \equiv B\((loại).

Với t=-1, K=(6;4;1).

Vậy K(6;4;1) là điểm phải tìm.

Cách 2. Vì $$ nên $$ khi và chỉ khi A là trung điểm của KB. Từ đó suy ra K=(6;4;1).

Tìm điểm C trên đường thẳng d sao cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Với $$ thì $$, AB không đổi nên $$ nhỏ nhất khi và chỉ khi IC nhỏ nhấ, tức C là hình chiếu của I trên d.

Vì $$ nên $$, suy ra $$

Ta có $$

Vậy điểm C cần tìm là $$(chính là điểm M ở câu 4).