Bài 1.8 trang 15 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

1. Nội dung câu hỏi

Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A, B sao cho đường thẳng AB không vuông góc với d. Gọi M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d. Hỏi A, B, M, N có là 4 đỉnh của một hình thang cân hay không?

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

Vì M, N tương ứng là các điểm đối xứng với A, B qua d nên phép đối xứng trục d biến điểm A thành điểm M và biến điểm B thành điểm N. Do đó, d là đường trung trực của đoạn thẳng AM và đoạn thẳng BN. Suy ra AM // BN (vì cùng vuông góc với d).

Suy ra tứ giác AMNB là hình thang (1).

Gọi F là trung điểm của BN, khi đó F thuộc đường trung trực d của đoạn thẳng BN nên phép đối xứng trục d biến điểm F thành chính nó.

Từ đó suy ra phép đối xứng trục d biến góc ABF thành góc MNF nên $\widehat{ABF}=\widehat{MNF}$ hay $\widehat{ABN}=\widehat{MNB}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AMNB là hình thang cân.

Vậy A, B, M, N là 4 đỉnh của một hình thang cân.