Bài 19 trang 12 sgk toán 8 tập 1

Đề bài

Đố: Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo.

Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng \(a + b\), bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng \(a - b\) (cho \(a > b\)). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không?

Lời giải chi tiết

Diện tích của miếng tôn hình vuông ban đầu là \({\left( {a + b} \right)^2}\) 

Diện tích của miếng tôn hình vuông phải cắt là \({\left( {a - b} \right)^2}\).

Phần diện tích miếng tôn còn lại là \({\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2}\).

Ta có:

\(\eqalign{
& {\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2} \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} - \left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) \cr
& = {a^2} + 2ab + {b^2} - {a^2} + 2ab - {b^2} \cr
& = \left( {{a^2} - {a^2}} \right) + \left( {{b^2} - {b^2}} \right) + \left( {2ab + 2ab} \right) \cr
& = 4ab \cr} \)

Vậy phần diện tích hình còn lại là \(4ab\) và không phụ thuộc vào vị trí cắt.

Hoặc ta có thể áp dụng hằng đẳng thức thứ 3 để tính như sau:

\(\begin{array}{l}
{\left( {a + b} \right)^2} - {\left( {a - b} \right)^2}\\
= \left( {a + b + a - b} \right)\left[ {a + b - \left( {a - b} \right)} \right]\\
= 2a.\left( {a + b - a + b} \right)\\
= 2a.2b\\
= 4ab
\end{array}\)