Bài 2 trang 11 SGK Hình học 11

Đề bài

Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(3x-y+2=0\). Viết phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\).

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Cho \(x = 0\) suy ra \(-y+2=0\) hay \(y = 2.\)

Cho \(x = -1\) suy ra \(-3.(-1)-y+2=0\) hay \(y= -1.\)

Do đó ta được hai điểm \(A(0;2)\) và \(B (-1;-1)\) thuộc \(d\).

Gọi \(A'\) = \({D_{Oy}}(A)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{A'}} = - {x_A} = 0\\
{y_{A'}} = {y_A} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {0;2} \right)\)

\(B'\) = \({D_{Oy}} (B)\) 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_{B'}} = - {x_B} = 1\\
{y_{B'}} = {y_B} = - 1
\end{array} \right. \Rightarrow B'\left( {1; - 1} \right)\)

Khi đó ảnh của đường thẳng \(d\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) là đường thẳng \(A'B'.\)

Ta có: \(\overrightarrow {A'B'}  = \left( {1; - 3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{A'B'}}}  = \left( {3;1} \right)\) là VTPT của \(A'B'.\)

Mà \(A'B'\) đi qua \(A'(0;2)\) nên có phương trình:

\(3(x-0) + 1.(y-2) =0\) hay \(3x+y-2=0.\)

Cách 2:

Gọi \(M(x;y)\) bất kì thuộc \(d\), \(M'(x', y')\) là ảnh của \(M (x;y)\) qua phép đối xứng trục \(Oy\) nên \(M'\) thuộc \(d'\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = - x\\y' = y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - x'\\y = y'\end{array} \right.\)

Ta có \(M\) thuộc \(d ⇔ 3x-y+2 =0\) \(⇔ -3x' - y' + 2=0\)

\( ⇔ M' \) thuộc đường thẳng \(d'\) có phương trình \(3x + y - 2 = 0\)