Bài 2 trang 128 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC, các đường cao BH và CK. Chứng minh rằng :

a) Bốn điểm B, C, H, K cùng thuộc một đường tròn.

b) HK < BC.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác vuông BHC có \(IH = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left( 1 \right)\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Xét tam giác vuông BKC có \(IK = \dfrac{1}{2}BC = IB = IC\,\,\left( 1 \right)\) (trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh ấy).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IH = IK = IB = IC \Rightarrow \) 4 điểm \(B,\,\,C,\,\,H,\,\,K\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) đường kính \(BC\).

Xét đường tròn \(\left( {I;\dfrac{{BC}}{2}} \right)\) ta có \(BC\) là đường kính, \(HK\) là dây cung không đi qua tâm.

Vậy \(HK < BC\).