Cho hình thang \(ABCD \;(AB // CD)\) có hai đường chéo cắt nhau ở \(O\) và tam giác \(ABO\) là tam giác đều. Gọi \(E, F, G\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(OA, OD\) và \(BC\). Chứng minh rằng tam giác \(EFG\) là tam giác đều.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng:

- Dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

- Tính chất đường trung bình của tam giác.

- Tính chất tamm giác đều.

Lời giải chi tiết

Vì tam giác \(ABO\) đều (giả thiết)

\( \Rightarrow \widehat {AOB} = \widehat {OAB} = \widehat {ABO} = {60^0}\) (tính chất tam giác đều)

Vì \(AB // CD\) (gt)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\widehat {O{\rm{D}}C} = \widehat {ABO} = {60^0}\left( {so\,le\,trong} \right)\\
\widehat {OC{\rm{D}}} = \widehat {OAB} = {60^0}\left( {so\,le\,trong} \right)
\end{array} \right.\)

Mà \(\widehat {CO{\rm{D}}} = \widehat {AOB} = {60^0}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow\) tam giác \(CDO\) cũng đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

\( \Rightarrow OD = OC\) (tính chất tam giác đều)

Xét \(∆AOD\) và \(∆BOC\) có:

+) \(AO = BO\) (tam giác \(ABO\) đều)

+) \(\widehat {AO{\rm{D}}} = \widehat {BOC}\) (đối đỉnh)

+) \(OD = OC\) (cmt)

\( \Rightarrow ∆AOD = ∆BOC\) (c.g.c)

\( \Rightarrow AD = BC\) (2 cạnh tương ứng)

Ta có: \(E, F\) là trung điểm của \(AO\) và \(DO\) (gt)

\( \Rightarrow\) \(EF\) là đường trung bình của tam giác \(AOD\) (dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

\(EF = \dfrac{1}{2}AD = \dfrac{1}{2}BC\) (1) (tính chất đường trung bình của tam giác)

\(CF\) là đường trung tuyến của tam giác đều \(CDO\) nên \(CF ⊥ DO\) (tính chất tam giác đều)

Trong tam giác vuông \(CFB\), \(FG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(FG = \dfrac{1}{2}BC\) (2)

Chứng minh tương tự:

\(BE\) là đường trung tuyến của tam giác đều \(ABO\) nên \(BE ⊥ AO\) (tính chất tam giác đều)

Trong tam giác vuông \(CEB\), \(EG\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên:

\(EG = \dfrac{1}{2}BC\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(EF = GF = EG\) nên tam giác \(EFG\) là tam giác đều (dấu hiệu nhận biết tam giác đều)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024