Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^4} - {\rm{ }}2{x^2} + {\rm{ }}1$ ;

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $f'\left( x \right)$. Giải phương trình $f'\left( x \right) =0$ và kí hiệu ${x_i}\left( {i = 1,2,...,n} \right)$ là các nghiệm của nó.

Bước 3: Tính $f''\left( x \right)$ và $f''\left( {{x_i}} \right)$.

Bước 4: Dựa vào dấu của $f''\left( {{x_i}} \right)$ suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb R.$

$y'{\rm{ }} = 4{x^3}-{\rm{ }}4x{\rm{ }} = {\rm{ }}4x({x^2} - {\rm{ }}1)$ ;

$y' = 0$ $⇔ 4x(x^2- 1) = 0$ $ ⇔ x = 0, x = \pm 1$.

$ y'' = 12x^2-4$.

$y''(0) = -4 < 0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x = 0$,

$y$_CĐ  = $ y(0) = 1$.

$y''(\pm 1) = 8 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = \pm1$,

$y$_CT  =  $y(\pm1)$ = 0.

$ y = \sin 2x – x$;

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb R.$

$y' = 2\cos 2x - 1$ ;
$y'=0\Leftrightarrow \cos 2x=\dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2x=\pm \dfrac{\pi }{3}+k2\pi$

$\Leftrightarrow x=\pm \dfrac{\pi }{6}+k\pi .$

$y'' = -4\sin 2x$.

$y''\left ( \dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left ( \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )$

$=-2\sqrt{3}<0$ nên hàm số đạt cực đại tại các điểm $x = \dfrac{\pi }{6}+ kπ$,

$y$_CĐ  = $ \sin (\dfrac{\pi }{3}+ k2π) - \dfrac{\pi }{6} - kπ$ = $\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi }{6}- kπ$ , $k ∈\mathbb Z$.

$y''\left ( -\dfrac{\pi }{6} +k\pi \right )=-4\sin \left (- \dfrac{\pi }{3} +k2\pi \right )$

$=2\sqrt{3}>0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm $x =-\dfrac{\pi }{6}+ kπ$,

$y$_CT = $\sin (-\dfrac{\pi }{3}+ k2π) + \dfrac{\pi }{6} - kπ$ =$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{\pi }{6} - kπ$ , $k ∈\mathbb Z$.

$y = \sin x + \cos x$;

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb R.$

$y = \sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )$;

$ y' =\sqrt{2}\cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )$ ;

 $y'=0\Leftrightarrow \cos \left (x+\dfrac{\pi }{4} \right )=0\Leftrightarrow$$x+\dfrac{\pi }{4} =\dfrac{\pi }{2}+k\pi \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi .$

$y''=-\sqrt{2}\sin \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ).$

$y''\left ( \dfrac{\pi }{4} +k\pi \right )=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{4}+k\pi +\dfrac{\pi }{4} \right )$

$=-\sqrt{2}\sin \left ( \dfrac{\pi }{2} +k\pi \right )$

$=\left\{ \matrix{
- \sqrt 2 \text{ nếu k chẵn} \hfill \cr 
\sqrt 2 \text{ nếu k lẻ} \hfill \cr} \right.$

Do đó hàm số đạt cực đại tại các điểm $x=\dfrac{\pi }{4}+k2\pi$,

đạt cực tiểu tại các điểm $x=\dfrac{\pi }{4}+(2k+1)\pi (k\in \mathbb{Z}).$

$y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^5}-{\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}1$.

Phương pháp giải:

Quy tắc II tìm cực trị của hàm số.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: $D = \mathbb R.$

$y'{\rm{ }} = {\rm{ }}5{x^4} - {\rm{ }}3{x^2} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}({x^2} - {\rm{ }}1)(5{x^2} + {\rm{ }}2)$; $y'{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {x^{2}} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} =  \pm 1$.

$y''{\rm{ }} = {\rm{ }}20{x^{3}} - {\rm{ }}6x$.

$y''(1) = 14 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1$,

$y$_CT = $ y(1) = -1$.

$y''(-1) = -14 < 0$ hàm số đạt cực đại tại $x = -1$,

$y$_CĐ = $y(-1) = 3$.