Bài 2 trang 36 sách giáo khoa toán 8 tập 1

Đề bài

Ba phân thức sau có bằng nhau không?

\( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x}\); \( \dfrac{x - 3}{x}\) ; \( \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\).

Lời giải chi tiết

+) Kiểm tra \( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x}\) và \(  \dfrac{x - 3}{x}\)

Xét các tích chéo, ta có:

*) \(\left( {{x^2}-2x-3} \right)x = {x^3}-2{x^2}-3x \)

*) \(\left( {{\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}x} \right)\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right) \)\(= {x^3}-{\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }}\)\( = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x\)

Nên  \((x^2– 2x – 3)x = ( x^2+ x)(x – 3)\)

Do đó: \( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} =  \dfrac{x - 3}{x}\) (1)

+) Kiểm tra \( \dfrac{x - 3}{x} \) và \( \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\) 

Xét các tích chéo, ta có: 

*) \(\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}3{x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} \)\(= {\rm{ }}{x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\)

*) \(x({x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3){\rm{ }} = {x^3}-{\rm{ }}4{x^2} + {\rm{ }}3x\)

Nên \(\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)({x^2}-{\rm{ }}x){\rm{ }} = x({x^2}{\rm{ }} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}3)\)

Do đó  \( \dfrac{x - 3}{x} =  \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\) (2)

Vậy từ (1) và (2) ta suy ra: \( \dfrac{x^{2}- 2x - 3}{x^{2} + x} =  \dfrac{x - 3}{x} =  \dfrac{x^{2}- 4x + 3}{x^{2}- x}\)