Bài 2 trang 77 sách giáo khoa hình học lớp 11

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M, N, P\) theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng \(SA, BC, CD\). Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \((MNP)\).

Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\), hãy tìm giao điểm của đường thẳng \(SO\) với \(mp (MNP)\).

Video hướng dẫn giải

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng \((MNP)\) với các mặt của hình chóp.

b) Tìm điểm chung của đường thẳng \(SO\) với \(mp (MNP)\).

Lời giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng \((ABCD)\) kéo dài \(NP\) cắt đường thẳng \(AB, AD\) lần lượt tại \(E, F\).

Trong mặt phẳng \((SAD)\) gọi \(Q=SD\cap MF\)

Trong mặt phẳng \((SAB)\) gọi \(R=SB\cap ME\)

Do đó 

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MQ\\
\left( {MNP} \right) \cap \left( {SDC} \right) = QP\\
\left( {MNP} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = PN\\
\left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NR\\
\left( {MNP} \right) \cap \left( {SAB} \right) = RM
\end{array} \right.\)

Từ đó ta có thiết diện là ngũ giác \(MQPNR\).

b) Trong \((ABCD)\) gọi \(H=AC\cap NP\)

\( \Rightarrow H \in AC \subset \left( {SAC} \right)\)\( \Rightarrow MH \subset \left( {SAC} \right)\)

Trong \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(I = SO \cap MH \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in SO\\I \in MH \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = SO \cap \left( {MNP} \right)\).