Bài 20 trang 181 SGK Đại số và giải tích 11

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ \(x = -1\)

Phương pháp giải:

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm có hoành độ \(x=x_0\) là \(y - {y_0} = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ở bài 19 cho:

\(\left\{ \matrix{
b = - {1 \over 2} \hfill \cr 
c = 0 \hfill \cr 
d = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

suy ra: \(f(x) = {x^3} - {1 \over {2}}{x^2} - {3 \over 2}(C)\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& {x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0}={( - 1)^3} - {1 \over 2}{( - 1)^2} - {3 \over 2} = - 3 \cr 
& f'(x) = 3{x^2} - x \Rightarrow f'(-1) = 3.(-1)^2 -(- 1) = 4 \cr} \)

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại \(x_0= -1\) là:

\(y + 3 = 4(x + 1) ⇔ y = 4x + 1\)

Giải phương trình \(f'\left( {\sin x} \right) = 0\)

Phương pháp giải:

Tính \(f'(x)\) và giải phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& f'(\sin x) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3.{\sin ^2}x - \sin x = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \sin x.(3.\sin x - 1) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x = 0 \hfill \cr 
\sin x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr 
& \sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi\,\, (k \in \mathbb Z) \cr 
& \sin x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr 
x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.  \,\,(k \in \mathbb Z)\cr}\)

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}}\)

Phương pháp giải:

Tính \(f''\left( {\sin 5x} \right);\,\,g'\left( {\sin 3x} \right)\), sử dụng giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin x}}{x} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f''\left( {\sin 5x} \right) + 1}}{{g'\left( {\sin 3x} \right) + 3}}\)

Ta có:

\(f’'(x) = 6x – 1 ⇒ f’’ (\sin 5x) = 6.\sin 5x – 1\)

\(g’(x) = 2x – 3 ⇒ g’(\sin 3x) = 2.\sin 3x – 3\)

Vậy:

\(\eqalign{
& {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}}  \cr &= \dfrac{{6\sin 5x - 1 + 1}}{{2\sin 3x - 3 + 3}}\cr &= {{6.\sin 5x} \over {2.\sin 3x}}\cr & = 5.{{\sin 5x} \over {5x}}.{{3x} \over {\sin 3x}} \cr 
& \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}} \cr 
& = 5.\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}}.\mathop {\lim } \limits_{x \to 0}{{{3x} \over {\sin 3x}}} \cr &= 5.1.1 = 5 \cr} \)