Bài 25 trang 27 Vở bài tập toán 9 tập 2

Đề bài

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước cạn (không có nước) thì sau \(4\dfrac{4}{5}\) giờ đầy bể. Nếu ngay từ đầu, chỉ mở vòi thứ nhất và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì phải \(\dfrac{6}{5}\) giờ nữa mới đầy bể. Hỏi nếu ngay từ đầu, chỉ mở vòi thứ hai thì phải bao lâu mới đầy bể ? 

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Bước 1. Lập hệ phương trình:

- Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho các ẩn số;

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết;

-Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng

Bước 2. Giải hệ phương trình vừa thu được.

Bước 3. Kết luận

-Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn.

- Kết luận bài toán.

Lời giải chi tiết

Bước 1: Gọi \(x\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ nhất chảy đầy bể; \(y\) (giờ) là thời gian để riêng vòi thứ hai chảy đầy bể. Điều kiện của ẩn là: \(x;y > \dfrac{{24}}{5}\).

Khi đó, riêng vòi thứ nhất chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{x}\) bể.

Riêng vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được \(\dfrac{1}{y}\) bể 

Vậy hai vòi cùng chảy từ đầu trong \(4\dfrac{4}{5}\) giờ  (tức \(\dfrac{{24}}{5}\) giờ) thì được \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right)\)  bể nước và đầy bể theo giả thiết ta có phương trình \(\dfrac{{24}}{5}\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) = 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\) 

Giả thiết thứ hai có nghĩa là mở vòi thứ nhất chảy trong \(\left( {9 + \dfrac{6}{5}} \right)\) giờ cộng với vòi thứ hai chảy trong \(\dfrac{6}{5}\)  giờ nữa  thì đầy bể. Điều đó được mô tả bởi phương trình  \(\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\)

Ta có hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}.\dfrac{1}{x} + \dfrac{6}{5}.\dfrac{1}{y} = 1\end{array} \right.\)

Bước 2: Đặt \(\dfrac{1}{x} = u;\dfrac{1}{y} = v\,\) ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(u\) và \(v:\) \(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right.\)

Ta giải hệ này bằng phương pháp cộng đại số

\(\left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{6}{5}u + \dfrac{6}{5}v = \dfrac{1}{4}\\\dfrac{{51}}{5}u + \dfrac{6}{5}v = 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u + v = \dfrac{5}{{24}}\\9u = \dfrac{3}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u = \dfrac{1}{{12}}\\v = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\,\left( {tm} \right)\)

Trở về phương trình ban đầu, ta có \(x = \dfrac{1}{u} = 12\left( {tm} \right)\) và \(y = \dfrac{1}{v} = 8\left( {tm} \right)\)

Bước 3: Giá trị \(x\) và \(y\) tìm được lần lượt là \(12\) và \(8.\)

Vậy vòi thứ nhất chảy riêng trong \(12\) giờ thì đầy bể, vòi thứ hai chảy riêng trong \(8\) giờ thì đầy bể.