Bài 3 trang 163 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

\(y = {({x^{7}} - 5{x^2})^3}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính đạo hàm \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\), đạo hàm của hàm hợp \(\left[ {f\left( u \right)} \right]' = u'.f'\left( u \right)\), các quy tắc tính đạo hàm của tích và thương:

\(\begin{array}{l}\left( {uv} \right)' = u'v + uv'\\\left( {\dfrac{u}{v}} \right)' = \dfrac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\end{array}\)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \(y = {u^3},u = {x^7} - 5{x^2}\)

\(\begin{array}{l}
\,\,y = {\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^3}\\
\Rightarrow y' = 3{\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^2}\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)'\\y' = 3{\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^2}\left[ {\left( {{x^7}} \right)' - \left( {5{x^2}} \right)'} \right]\\y' = 3{\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^2}.\left( {7{x^6} - 5.2x} \right)\\
y' = 3{\left( {{x^7} - 5{x^2}} \right)^2}.\left( {7{x^6} - 10x} \right)\\
\end{array}\)

\(y = ({x^2} + 1)(5 - 3{x^2})\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,y = \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)\\
\Rightarrow y = 5{x^2} - 3{x^4} + 5 - 3{x^2} \\= - 3{x^4} + 2{x^2} + 5\\ \Rightarrow y' = \left( { - 3{x^4}} \right)' + \left( {2{x^2}} \right)' + \left( 5 \right)'\\\Rightarrow y' =  - 3.4{x^3} + 2.2x + 0\\
\Rightarrow y' = - 12{x^3} + 4x\\
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
y' = \left( {{x^2} + 1} \right)'\left( {5 - 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right)'\\
= \left[ {\left( {{x^2}} \right)' + \left( 1 \right)'} \right]\left( {5 - 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left[ {\left( 5 \right)' - \left( {3{x^2}} \right)'} \right]\\
= \left( {2x + 0} \right)\left( {5 - 3{x^2}} \right) + \left( {{x^2} + 1} \right)\left( {0 - 3.2x} \right)\\
= 10x - 6{x^3} - 6{x^3} - 6x\\
= 4x - 12{x^3}
\end{array}\)

\(y =  \dfrac{2x}{x^{2}-1}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,y = \dfrac{{2x}}{{{x^2} - 1}}\\y' = \dfrac{{\left( {2x} \right)'\left( {{x^2} - 1} \right) - 2x.\left( {{x^2} - 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2\left( {{x^2} - 1} \right) - 2x.2x}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{2{x^2} - 2 - 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\y' = \dfrac{{ - 2{x^2} - 2}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\\\end{array}\)

\(y =  \dfrac{3-5x}{x^{2}-x+1}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\,\,y = \dfrac{{3 - 5x}}{{{x^2} - x + 1}}\\y' = \dfrac{{\left( {3 - 5x} \right)'\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {3 - 5x} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)'}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{ - 5\left( {{x^2} - x + 1} \right) - \left( {3 - 5x} \right)\left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{ - 5{x^2} + 5x - 5 + 3 - 11x + 10{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
y' = \dfrac{{5{x^2} - 6x - 2}}{{{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)}^2}}}\\
\end{array}\)

\(y = \left ( m+\dfrac{n}{x^{2}} \right )^{3}\) (\(m, n\) là các hằng số)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y' = 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)'\\
= 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}\left[ {\left( m \right)' + \left( {\dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)'} \right]\\
= 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}\left[ {0 + \dfrac{{\left( n \right)'.{x^2} - n.\left( {{x^2}} \right)'}}{{{x^4}}}} \right]\\
= 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}.\dfrac{{0{x^2} - n.2x}}{{{x^4}}}\\
= 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}.\dfrac{{ - 2n}}{{{x^3}}}\\
= - 6n{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}.\dfrac{1}{{{x^3}}}
\end{array}\)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\,\,y = {\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^3}\\
\Rightarrow y' = 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)'\\
\,\,\,\,\,\,y' = 3{\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2}.\left( {m + n.{x^{ - 2}}} \right)'\\
\,\,\,\,\,\,y' = 3\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2.n.\left( { - 2} \right).{x^{ - 3}}\\
\,\,\,\,\,y' = - 6n\left( {m + \dfrac{n}{{{x^2}}}} \right)^2.\dfrac{1}{{{x^3}}}
\end{array}\)