Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho điểm \(I (1;1)\) và đường trong tâm \(I\) bán kính \(2\). Viết phương trình của đường tròn là ảnh của đường tròn trên qua phép đồng dạng có được bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm \(O\), góc \( 45^{\circ}\) và phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \( \sqrt{2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Phép quay tâm \(O\), góc quay \(45^0\) biến đường tròn tâm \(I\) bán kính \(R\) thành đường tròn tâm \(I_1\) bán kính \(R\), với \(I_1 = {Q_{\left( {O;{{45}^0}} \right)}}\left( I \right)\).

Phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(\sqrt{2}\) biến đường tròn tâm \(I_1\), bán kính \(R\) thành đường tròn tâm \(I_2\); bán kính \(R_2\), với \(I_2 = {V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( I_1 \right);\,\,R_2 = \sqrt 2 R\).

Lời giải chi tiết

+ Gọi \(({I_1};{\rm{ }}{R_1}) = {\rm{ }}{Q_{\left( {O;{\rm{ }}45} \right)}}\;\left( {I;{\rm{ }}R} \right)\) (Phép quay đường tròn tâm \(I,\) bán kính \(R\) qua tâm \(O\) một góc \(45^0).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{I_1} = {Q_{\left( {O;{\rm{ }}45} \right)}}\;\left( I \right)\\
{R_1} = R
\end{array} \right.\)

Xác định \(I_1\):

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{I_1} = {Q_{\left( {O;{\rm{ }}45} \right)}}\;\left( I \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O{I_1} = OI\\
\widehat {IO{I_1}} = {45^o}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
O{I_1} = OI = \sqrt {{1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \\
\widehat {IO{I_1}} = {45^o} \Leftrightarrow {I_1} \in Oy
\end{array} \right.\\
\Rightarrow {I_1}\left( {0;\sqrt 2 } \right)
\end{array}\)

+ Gọi \(I_2\left( {x'';y''} \right) = {V_{\left( {O;\sqrt 2 } \right)}}\left( I_1 \right)\) ta có:

\(\overrightarrow {OI_2} = \sqrt 2\overrightarrow {OI_1} \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x'' = 2.0 = 0\\y'' = \sqrt 2.\sqrt 2 =2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I''\left( {0;2 } \right)\)

Do đó phép vị tự tâm \(O\), tỉ số \(\sqrt{2}\) biến đường tròn tâm \(I_1\), bán kính R thành đường tròn tâm \(I_2\left( {0;2 } \right)\); bán kính \(R_2 = \sqrt 2 R = 2\sqrt 2 \).

Vậy phương trình đường tròn tâm \(I_2\), bán kính \(R_2\) là \({x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 8\).

Chú ý:

Cách khác để tìm \(I_1\) (chỉ dùng cho trắc nghiệm) như sau:

Gọi \(I_1(x';y') = {Q_{\left( {I;{{45}^0}} \right)}}\left( I \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}x' = 1.\cos 45 - 1.\sin 45 = 0\\y' = 1.\sin 45 + 1.\cos 45 = \sqrt 2 \end{array} \right. \) \(\Rightarrow I_1\left( {0;\sqrt 2 } \right)\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Ôn tập chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024