Bài 3 trang 7 SGK Hình học 11

Tìm tọa độ của các điểm \(A', B'\) theo thứ tự là ảnh của \(A, B\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến theo vector \(\overrightarrow v \left( {a;b} \right)\) biến điểm \(M(x;y)\) thành điểm \(M'(x';y')\). Khi đó \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' - x = a \hfill \cr y' - y = b \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x' = x + a \hfill \cr y' = y + b \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(A'=(x'; y')\). Khi đó

\(T_{\vec{v}} (A) = A'\)

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' - 3 = - 1\\
y' - 5 = 2
\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{\begin{matrix} {x}'= 3 - 1 = 2\\ {y}'= 5 + 2 = 7 \end{matrix}\right.\)  \(\Rightarrow A' = (2;7)\)

\({T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) = B' \) \(\Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow v \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' - \left( { - 1} \right) = - 1\\
y' - 1 = 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - 1 - 1\\
y' = 1 + 2
\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x' = - 2\\
y' = 3
\end{array} \right.\) \(  \Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right)\)

Tìm tọa độ của điểm \(C\) sao cho \(A\) là ảnh của \(C\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({T_{\overrightarrow v }}\left( C \right) = A\) \( \Leftrightarrow \overrightarrow {CA} = \overrightarrow v \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_A} - {x_C} = - 1\\
{y_A} - {y_C} = 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = {x_A} + 1\\
{y_C} = {y_A} - 2
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_C} = 3 + 1 = 4\\
{y_C} = 5 - 2 = 3
\end{array} \right. \) \(\Rightarrow C\left( {4;3} \right)\)

Cách khác

Ta có \(A = T_{\vec{v}} (C)\) ⇔ \(C= T_{-\vec{v}} (A) \) (với \( - \overrightarrow v  = \left( {1; - 2} \right)\))

\( \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = 3 + 1 = 4 \hfill \cr y' = 5 - 2 = 3 \hfill \cr} \right. \Rightarrow C\left( {4;3} \right)\)

Tìm phương trình của đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép tịnh tiến theo \(\overrightarrow{v}\)

Phương pháp giải:

Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Lời giải chi tiết:

Cách 1. Dùng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Gọi \(M(x;y)\) bất kì thuộc \(d\), \(M' = T_{\vec{v}}(M) =(x'; y')\) nên \(M'\) thuộc \(d'.\)

Khi đó 

\(M' = T_{\vec{v}}(M)\) \(⇔  \left\{ \matrix{x' = x - 1 \hfill \cr y' = y + 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x = x' + 1 \hfill \cr y = y' - 2 \hfill \cr} \right.\)

Ta có \(M ∈ d ⇔ x-2y +3 = 0\)\( ⇔ (x'+1) - 2(y'-2)+3=0 \) \(⇔ x' -2y' +8=0 \)

\(⇔ M' ∈ d'\) có phương trình \(x-2y+8=0\).

Vậy \(T_{\vec{v}}(d) = d':\,\, x-2y+8=0\)

Cách 2. Dùng tính chất của phép tịnh tiến

Gọi \(T_{\vec{v}}(d) =d'\).

Khi đó \(d'\) song song hoặc trùng với \(d\) nên phương trình của nó có dạng \(x-2y+C=0\).

Lấy một điểm thuộc \(d\) chẳng hạn \(B(-1;1)\), khi đó gọi \(B' = {T_{\overrightarrow v }}\left( B \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{x' = - 1 - 1 = - 2 \hfill \cr y' = 1 + 2 = 3 \hfill \cr} \right. \) \(\Rightarrow B'\left( { - 2;3} \right) \in d'\)

\( \Rightarrow  - 2 - 2.3 + C = 0 \Leftrightarrow C = 8\)

Vậy phương trình đường thẳng \(\left( {d'} \right):\,\,x - 2y + 8 = 0\).