Bài 3 trang 82 SGK Đại số và Giải tích 11

\(3^n> 3n + 1\)

Phương pháp giải:

Vận dụng phương pháp chứng minh quy nạp toán học.

Bước 1: Chứng minh mệnh đề đúng với \(n=2\).

Bước 2: Giả sử đẳng thức đúng đến \(n=k \ge 2\) (giả thiết quy nạp). Chứng minh đẳng thức đúng đến \(n=k+1\).

Khi đó đẳng thức đúng với mọi \(n \in N^*\).

Lời giải chi tiết:

Với \(n=2\) ta có: \(3^2 = 9 > 7 = 3.2+1\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(3^k> 3k + 1\)         (1).

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\), tức là cần chứng minh: \(3^{k+1}> 3(k+1) + 1=3k+4\)

Nhân hai vế của (1) với \(3\), ta được:

\(3^{k+1} > 9k + 3 \)

\(\Leftrightarrow 3^{k+1} > 3k + 4 + 6k -1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 6k - 1 \ge 11 > 0\) nên \(3^{k+1} > 3k + 4 +11 > 3k + 4 = 3(k+1)+1).\)

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n = k + 1\).

Vậy \(3^n> 3n + 1\)  với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

\(2^{n+1} > 2n + 3\)

Lời giải chi tiết:

Với \(n = 2\) thì \({2^{2 + 1}} = 8 > 7 = 2.2 + 3\) (đúng)

Giả sử bất đẳng thức đúng với \(n = k ≥ 2\), tức là

\(2^{k+1} > 2k + 3\)          (2)

Ta phải chứng minh nó cũng đúng với \(n= k + 1\), nghĩa là phải chứng minh

\({2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2\left( {k{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right) + 3{\rm{ }} \)

\(\Leftrightarrow {2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}} > 2k + 5\)

Nhân hai vế của bất đẳng thức (2) với \(2\), ta được:

\({2^{k + 2}} > 4k + 6 \)

\(\Leftrightarrow {2^{k+2}} > 2k + 5 + 2k + 1\)

Vì \(k \ge 2 \Rightarrow 2k + 1> 0\) nên \({2^{k + 2}}> 2k + 5\).

Tức là bất đẳng thức đúng với \(n=k+1\).

Vậy theo phương pháp quy nạp toán học thì bất đẳng thức \({2^{n+1}} > 2n + 3\) đúng với mọi số tự nhiên \(n ≥ 2\).

Cách khác:

+ Với \(n = 2\) thì bất đẳng thức \( \Leftrightarrow \;8 > 7\) (luôn đúng).

+ Giả sử bđt đúng khi \(n = k \ge 2\), nghĩa là \({2^{k + 1}}\; > 2k + 3.\)

Ta chứng minh đúng với \(n=k+1\) tức là chứng minh: \({2^{k + 2}}\; > 2(k +1)+ 3.\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{{2^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}2}}\; = {\rm{ }}{{2.2}^{k{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}}\\
{ > {\rm{ }}2.\left( {2k{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right) = {\rm{ }}4k + 6{\rm{ }} = 2k + 2 + 2k + 4.}\\
{ > {\rm{ }}2k + 2 + 3 = 2.\left( {k + 1} \right) + 3}
\end{array}\)

(Vì \(2k + 4 >3\) với mọi \(k ≥ 2\))

\( \Rightarrow \;\left( 2 \right)\) đúng với \(n = k + 1\).

Vậy \({2^{n{\rm{ }} + {\rm{ }}1}}\; > {\rm{ }}2n + 3\;\) với mọi \(n ≥ 2\).