Trong các bài toán về cấp số cộng, ta thường gặp năm đại lượng \(u_1, n, d, u_n, S_n\).
LG a
Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
Phương pháp giải:
Sử dụng các công thức:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\\
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d
\end{array}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
{u_n} = {u_1} + (n - 1).d\\
\Rightarrow n = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{d} + 1;\;\;d = \frac{{{u_n} - {u_1}}}{{n - 1}}\\
{S_n} = n.{u_1} + \frac{{n(n - 1)}}{2}.d\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n(n - 1).d}}{{2n}}\\
{S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}\;\; \Rightarrow {u_1} = \frac{{2.{S_n} - n.{u_n}}}{n}
\end{array}\)
Dựa vào các công thức trên thấy cần phải biết ít nhất 3 đại lượng để tìm được các đại lượng còn lại.
LG b
Lập bảng theo mẫu sau và điền vào chỗ trống thích hợp:
Lời giải chi tiết:
Dòng đầu: Biết \({u_1} = - 2;{u_{20}} = 55\). Tìm d và \({S_{20}}\).
Ta có \({u_{20}} = {u_1} + 19d\)
\(\Leftrightarrow 55 = - 2 + 19d \Leftrightarrow d = 3\)
\({S_{20}} = \frac{{20\left( {{u_1} + {u_{20}}} \right)}}{2} \) \(= \frac{{20.\left( { - 2 + 55} \right)}}{2} = 530\)
Dòng 2: Biết \(d = - 4;\,\,{S_{15}} = 120\), tìm \({u_1}\) và \({u_{15}}\).
Ta có \({S_{15}} = 15{u_1} + \frac{{15.\left( {15 - 1} \right)}}{2}.d \)
\(\Leftrightarrow 120 = 15.{u_1} + 105.\left( { - 4} \right) \)
\(\Leftrightarrow 15{u_1} = 540 \Leftrightarrow {u_1} = 36\)
\( \Rightarrow {u_{15}} = {u_1} + 14d = 36 + 14.\left( { - 4} \right) = - 20\)
Dòng 3: Biết \({u_1} = 3;\,\,d = {4 \over {27}};\,\,{u_n} = 7\). Tìm n và tính \({S_n}\).
Ta có \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d \)
\(\Leftrightarrow 7 = 3 + \left( {n - 1} \right).{4 \over {27}} \Leftrightarrow n = 28\)
\({S_{28}} = 28{u_1} + \frac{{28.\left( {28 - 1} \right)}}{2}.d \)
\(= 28.3 + 378.\frac{4}{{27}} = 140\)
Dòng 4: Biết \({u_{12}} = 17\) và \({S_{12}} = 72\). Tìm \({u_1}\) và \(d\).
\(\begin{array}{l}
{S_{12}} = \frac{{12\left( {{u_1} + {u_{12}}} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow 72 = \frac{{12\left( {{u_1} + 17} \right)}}{2}\\
\Leftrightarrow {u_1} + 17 = 12\\
\Leftrightarrow {u_1} = - 5\\
{u_{12}} = {u_1} + 11d\\
\Leftrightarrow 17 = - 5 + 11d\\
\Leftrightarrow 22 = 11d \Leftrightarrow d = 2
\end{array}\)
Dòng 5: Biết \({u_1} = 2;d = - 5\) và \({S_n} = - 205\). Tìm n và tính \({u_n}\).
Ta có
\(\begin{array}{l}
{S_n} = n{u_1} + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}d\\
\Leftrightarrow - 205 = n.2 + \frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}.\left( { - 5} \right)\\
\Leftrightarrow - 410 = 4n - 5n\left( {n - 1} \right)\\
\Leftrightarrow 5{n^2} - 9n - 410 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 10\\
n = - \frac{{41}}{5}\left( {loai} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow n = 10\\
\Rightarrow {u_{10}} = {u_1} + 9d\\
= 2 + 9.\left( { - 5} \right) = - 43
\end{array}\)
Vậy ta điền được bảng như sau :
Chủ đề 2. Công nghệ giống vật nuôi
Review Unit 1
Tải 10 đề thi học kì 2 Sinh 11
Unit 7: World Population - Dân số thế giới
Chủ đề 5. Hoạt động phát triển cộng đồng
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11